Bestemme omfanget av en funksjon

Innhold

Trinn
Tips

Rekkevidden til en funksjon er settet med tall som funksjonen kan produsere. Med andre ord, det er settet med y-verdier du får når du tar med alle mulige x-verdier inn i funksjonen. Dette settet med x-verdier kalles domenet. Hvis du vil vite hvordan du beregner rekkevidden til en funksjon, følger du trinnene nedenfor.

Trinn

Metode 1 av 4: Bestemme rekkevidden til en funksjon med en gitt ligning

1. Skriv ned ligningen. Anta at du har følgende ligning: f(x) = 3x + 6x -2. Dette betyr at når du angir en verdi for X av ligningen, at du da har en y-får verdi. Dette er funksjonen til en parabel.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 2

2. Finn toppunktet til funksjonen, hvis det er en andregradsligning. Hvis du har en rett linje eller en funksjon med et polynom eller et oddetall, for eksempel f(x) = 6x+2x + 7, kan du hoppe over dette trinnet. Men hvis du har å gjøre med en parabel eller en ligning der x-koordinaten er kvadratisk eller økt med en jevn potens, må du tegne toppunktet til parablen. For å gjøre dette, bruk ligningen -b/2a for x-koordinaten til funksjonen 3x + 6x -2, hvor 3 = a, 6 = b og -2 = c. I dette tilfellet, -b er -6 og 2a er 6, så x-koordinaten er -6/6, eller -1.

Bearbeid deretter -1 i funksjonen for å få y-koordinaten. f(-1) = 3(-1) + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.

Toppunktet til parablen er (-1,-5). Bearbeid dette i grafen ved å tegne et punkt ved x-koordinat -1 og y-koordinat -5. Dette skal være i tredje kvadrant av grafen.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 3

3. Finn noen andre punkter i funksjonen. For å få en følelse av funksjonen, bør du fylle inn noen andre verdier for x slik at du kan få en ide om hvordan funksjonen ser ut før du begynner å lete etter området. Siden det er en parabel og x er positiv, vil parablen peke opp (dalparabel). Men bare for å være sikker, legger vi inn noen flere verdier for x for å se hvilke y-koordinater de gir:

f(-2) = 3(-2) + 6(-2) -2 = -2. Et punkt på grafen er (-2, -2)

f(0) = 3(0) + 6(0) -2 = -2. Et annet punkt på grafen er (0,-2)

f(1) = 3(1) + 6(1) -2 = 7. Et tredje punkt på grafen er (1, 7).

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 4

4. Finn rekkevidden til diagrammet. Se nå på y-koordinatene på grafen og finn det laveste punktet der grafen berører y-koordinaten. I dette tilfellet er den laveste y-koordinaten på toppen av parabelen, -5 og grafen strekker seg uendelig forbi dette punktet. Dette betyr at rekkevidden til funksjonen y = alle reelle tall ≥ -5.

Metode 2 av 4: Bestemme rekkevidden til en funksjon ved hjelp av en graf

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 5

1. Finn minimum av funksjonen. Finn den laveste y-koordinaten til funksjonen. Anta at funksjonen når sitt laveste punkt ved -3. Denne funksjonen kan bli mindre og mindre, til det uendelige, så den har ikke noe fast laveste punkt - bare uendelig.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 6

2. Finn maksimum av funksjonen. Anta at den høyeste y-koordinaten til funksjonen er 10. Denne funksjonen kan også bli uendelig mye større, så den har ikke noe fast høyeste punkt – bare uendelig.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 7

3. Angi hva rekkevidden er. Dette betyr at rekkevidden til funksjonen, eller området til y-koordinatene, er fra -3 til 10. Altså -3 ≤ f(x) ≤ 10. Det er omfanget av funksjonen.

Men anta at y = -3 er det laveste punktet på grafen, men stiger for alltid. Da er området f(x) ≥ -3, og ikke mer enn det.

Anta at grafen når sitt høyeste punkt ved y=10, men fortsetter å falle for alltid. Da er området f(x) ≤ 10.

Metode 3 av 4: Bestemme omfanget av et forholds funksjon

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 8

1. Skriv ned forholdet. En relasjon er et sett med ordnede par av x- og y-koordinater. Du kan se på et forhold og bestemme dets domene og omfang. Anta at du har å gjøre med følgende relasjon: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 9

2. List opp y-koordinatene til forholdet. For å bestemme rekkevidden til forholdet, skriver vi ned alle y-koordinatene til hvert bestilte par: {-3, 6, -1, 6, 3}.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 10

3. Fjern alle dupliserte koordinater slik at du bare har én av hver y-koordinat. Du har kanskje lagt merke til at du har "6" to ganger på listen. Fjern det slik at du sitter igjen med {-3, -1, 6, 3}.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 11

4. Skriv rekkevidden til forholdet i stigende rekkefølge. Deretter ordner tallene i settet fra minste til største, og du har funnet rekkevidden. Området for relasjonen {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} er {-3,-1, 3, 6}. Du er klar.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 12

5. Gjør forholdet til en funksjon er. For at en relasjon skal være en funksjon, hver gang du skriver inn et tall fra en x-koordinat, må y-koordinaten være den samme. For eksempel er relasjonen {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} Nei funksjon, fordi hvis du fyller inn 2 som x for første gang, får du en 3 som verdi, men andre gang du fyller inn en 2, får du fire. En relasjon er kun en funksjon hvis du alltid får samme utgang for en bestemt inngang. Hvis du skriver inn -7, skal du alltid få den samme y-koordinaten (uansett hva det måtte være), hver gang.

Metode 4 av 4: Bestem omfanget av en funksjon i en oppgave

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 13

1. Les saken. Anta at du jobber med følgende problem: "Becky selger billetter til skolens talentshow for $5 hver. Det totale beløpet hun samler inn er en funksjon av antall billetter hun selger. Hva er rekkevidden til funksjonen?"

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 14

2. Skriv oppgaven som en funksjon. I dette tilfellet m beløpet som er samlet inn og t antall solgte billetter. Siden hver billett koster 5 euro, må du gange antall solgte billetter med 5 for å få totalbeløpet. Derfor kan funksjonen skrives som M(t) = 5t.

For eksempel: Hvis hun selger 2 billetter, må du gange 2 med 5, med 10 som svar, og dermed det totale beløpet.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 15

3. Bestem hva domenet er. For å finne utvalget trenger du først domenet. Domenet består av alle mulige verdier av t som deltar i ligningen. I dette tilfellet kan Becky selge 0 eller flere billetter – hun kan ikke selge et negativt antall billetter. Siden vi ikke vet antall plasser i skolens auditorium, kan vi anta at hun i teorien kan selge uendelig mange billetter. Og hun kan bare selge hele billetter, ikke deler av dem. Derfor er funksjonens domene t = ethvert positivt heltall.

Bilde med tittelen Finn rekkevidden til en funksjon i matematikk trinn 16

4. Bestem hva rekkevidden er. Rangen er det mulige beløpet Becky kan samle inn med salget. Du må jobbe med domenet for å finne utvalget. Hvis du vet at domenet består av et positivt heltall og at ligningen M(t) = 5t da vet du også at du kan legge inn et hvilket som helst positivt heltall i denne funksjonen for svaret, eller området. For eksempel: Hvis hun selger 5 billetter, er M(5) = 5 x 5, eller 25 euro. Hvis hun selger 100, så er M(100) = 5 x 100, eller 500 euro. Derfor rekkevidden av funksjonen ethvert positivt heltall som er et multiplum av fem.

Det vil si at ethvert positivt heltall som er et multiplum av fem er et mulig utfall av funksjonen.

Tips

Se om du kan finne inversen til funksjonen. Domenet til inversen til en funksjon er lik rekkevidden til denne funksjonen.
I de vanskeligere tilfellene kan det være lettere å først plotte grafen ved hjelp av domenet (om nødvendig) og deretter lese området fra grafen.
Sjekk om funksjonen gjentar seg. Enhver funksjon som gjentas langs x-aksen vil ha samme område for hele funksjonen. For eksempel: f(x) = sin(x) har et område mellom -1 og 1.