Hvordan vite om en funksjon er partall eller oddetall: 8 trinn (med bilder)

Innhold

Trinn
- Metode 1 av 2: Teste funksjonen algebraisk
- Metode 2 av 2: Test funksjonen grafisk
Tips
Advarsel

En måte å klassifisere funksjoner på er enten `part`, `oddetall` eller ingen av delene. Disse begrepene refererer til repetisjonen eller symmetrien til funksjonen. Den beste måten å finne ut av det på er ved å algebraisk manipulere funksjonen. Du kan også studere grafen til funksjonen og se etter symmetri. Når du vet hvordan du klassifiserer funksjoner, kan du også forutsi utseendet til visse kombinasjoner av funksjoner.

Trinn

Metode 1 av 2: Teste funksjonen algebraisk

1. Se inverse variabler. I algebra er den resiproke av en variabel negativ. Dette er sant eller variabelen til funksjonen nå

X

$X$ er eller noe annet. Hvis variabelen til den opprinnelige funksjonen allerede er negativ (eller en subtraksjon), så er dens gjensidige positiv (eller et tillegg). Følgende er noen eksempler på variabler og deres inverser:

Det motsatte av $X$ $X$ er $- X$ $-X$
Det motsatte av $q$ $q$ er $- q$ $-q$
Det motsatte av $- w$ $-w$ er $w$ $w$ .

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 2

2. Erstatt hver variabel av funksjonen med dens inverse. Ikke endre den opprinnelige funksjonen bortsett fra tegnet. For eksempel:

f (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ blir

f (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

g (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ blir

g (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ blir

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 3

3. Forenkle den nye funksjonen. På dette tidspunktet trenger du ikke å bekymre deg for å løse funksjonen for en gitt numerisk verdi. Du forenkler bare variablene for å sammenligne den nye funksjonen, f(-x), med den opprinnelige funksjonen, f(x). Husk de grunnleggende reglene for eksponenter som sier at en negativ base til en partall vil være positiv, mens en negativ base til en oddetall vil være negativ.

f (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

f (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$

g (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

g (- X) = 5 (- X 5) + 2 X

$g(-x)=5(-x^{5})+2x$

g (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 4

4. Sammenlign de to funksjonene. For hvert eksempel du prøver, sammenligne den forenklede versjonen av f(-x) med den originale f(x). Sett begrepene side ved side for enkel sammenligning, og sammenlign tegnene til alle begrepene.

Hvis de to resultatene er like, er f(x)=f(-x), og den opprinnelige funksjonen er partall. Et eksempel er:

f (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ og

f (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$ .

Disse to er like, så funksjonen er jevn.

Hvis hvert ledd i den nye versjonen av funksjonen er det gjensidige av det tilsvarende leddet til originalen, så er f(x)=-f(-x) og funksjonen oddetall. For eksempel:

g (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ men

g (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$ .

Merk at hvis du multipliserer hvert ledd i den første funksjonen med -1, lager du den andre funksjonen. Så den opprinnelige funksjonen g(x) er oddetall.

Hvis den nye funksjonen ikke samsvarer med noen av disse to eksemplene, er den verken partall eller oddetall. For eksempel:

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ men

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Det første leddet er det samme i hver funksjon, men det andre leddet er en invers. Derfor er denne funksjonen verken partall eller merkelig.

Metode 2 av 2: Test funksjonen grafisk

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 5

1. Tegn funksjonen grafisk. Bruk millimeterpapir eller en grafisk kalkulator for å tegne funksjonen. Velg forskjellige numeriske verdier for

X

$X$ og plugg det inn i funksjonen for å få den resulterende verdien av

y

$y$ å beregne. Plott disse punktene på grafen og etter å ha plottet flere punkter, tegn en linje gjennom dem for å tegne funksjonen.

Når du plotter poengene, vær oppmerksom på positive og tilsvarende negative verdier for $X$ $X$ . For eksempel hvis du har med funksjonen å gjøre $f (X) = 2 X 2 + 1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , så plotter du følgende verdier:

$f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Dette resulterer i poenget $(1, 3)$ $(1.3)$ .
$f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Dette resulterer i poenget $(2, 9)$ $(2,9)$ .
$f (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Dette resulterer i poenget $(- 1, 3)$ $(-1,3)$ .
$f (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Dette resulterer i poenget $(- 2, 9)$ $(-2,9)$ .

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 6

2. Legg merke til symmetri langs y-aksen. Når du ser på en funksjon, vil symmetri foreslå et speilbilde. Hvis du ser at delen av grafen på høyre (positiv) side av y-aksen samsvarer med delen av grafen på venstre (negativ) side av y-aksen, så er grafen symmetrisk om y-aksen. Hvis en funksjon er symmetrisk rundt y-aksen, er funksjonen partall.

Du kan teste for symmetri ved å velge individuelle punkter. Hvis y-verdien til en x-verdi er den samme som y-verdien til -x, så er funksjonen jevn. Punktene som er valgt ovenfor for plotting

f (X) = 2 X 2 + 1

$f(x)=2x^{2}+1$ gi følgende resultater:

(1,3) og (-1,3)

(2,9) og (-2,9).

De tilsvarende y-verdiene for x=1 og x=-1, og for x=2 og x=-2, indikerer at dette er en jevn funksjon. For en bedre test er det å velge to punkter ikke nok bevis, men det er en god indikasjon.

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 7

3. Test for symmetri fra opprinnelsen. Opprinnelsen er det sentrale punktet (0,0). Opprinnelsessymmetri betyr at et positivt resultat for en valgt x-verdi vil tilsvare et negativt resultat for -x, og omvendt. Odd-funksjoner viser opprinnelsessymmetri.

Hvis du velger et par testverdier for x og deres invers tilsvarende verdier for -x, bør du få inverse resultater. Vurder funksjonen

f (X) = X 3 + X

$f(x)=x^{3}+x$ . Denne funksjonen returnerer følgende punkter:

f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2

$f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . Poenget er (1,2).

f (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . Poenget er (-1,-2).

f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10

$f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . Poenget er (2,10).

f (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = - 10

$f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . Poenget er (-2,-10).

Dermed f(x)=-f(-x), og du kan konkludere med at funksjonen er oddetall.

Bilde med tittelen Fortell om en funksjon er partall eller oddetall Trinn 8

4. Se om det ikke er symmetri. Det siste eksemplet er en funksjon uten symmetri på begge sider. Hvis du ser på grafen vil du se at det ikke er et speilbilde verken på y-aksen eller rundt origo. Se funksjonen

f (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ .

Velg et par verdier for x og -x, som følger:

f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

$f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Poenget å plotte er (1,4).

f (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Poenget å plotte er (-1,-2).

f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10

$f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Poenget å plotte er (2,10).

f (- 2) = (- 2) 2 + 2 (- 2) + (- 2) = 4 - 4 - 2 = - 2

$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Poenget å plotte er (2,-2).

Dette gir deg allerede nok poeng til å legge merke til at det ikke er noen symmetri. y-verdiene for motsatte par av x-verdier er ikke de samme, og de er heller ikke hverandres inverse. Denne funksjonen er verken partall eller merkelig.

Du kan se denne funksjonen,

f (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ , kan skrives om som

f (X) = (X + 1) 2

$f(x)=(x+1)^{2}$ . Skrevet i denne formen ser det ut som om det er en partallsfunksjon fordi det bare er én eksponent, og det er et partall. Dette eksemplet illustrerer imidlertid at du ikke kan avgjøre om en funksjon er partall eller oddetall når den er satt i parentes. Du må vurdere funksjonen i individuelle termer og deretter undersøke eksponentene.

Tips

Hvis alle former for en variabel i funksjonen har jevne eksponenter, så er funksjonen partall. Hvis alle eksponenter er odde, er funksjonen totalt sett oddetall.