Hvordan tegne en funksjon: 10 trinn (med bilder)

Innhold

Trinn
Tips

Som en graf ser en andregradsligning ax + bx + c, også noen skrevet soma(x - h) + k, ser ut som en jevn U-formet kurve. Dette er det vi kaller a parabel. Å tegne en kvadratisk ligning innebærer å finne toppunktet, retningen og ofte skjæringspunktene med x-aksen og y-aksen. Ved den relativt enkle andregradslikningen kan det også være tilstrekkelig å legge inn en rekke verdier for x for å indikere disse punktene i koordinatsystemet, hvoretter parablen kan tegnes. Fortsett til trinn 1 for å komme i gang.

Trinn

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 1

1. Bestem hva slags andregradsligning du har. Dette kan skrives på to måter: standardnotasjonen og toppunktnotasjonen (en annen måte å skrive kvadratrotformelen på). Du kan bruke begge for å lage en graf av en kvadratisk ligning, men denne prosessen er litt forskjellig i begge tilfeller. Vanligvis vil du støte på standardskjemaet, men det skader absolutt ikke å lære å bruke begge skjemaene. De to formene for en kvadratisk ligning er:

Standardformen. Her skrives andregradsligningen som: f(x) = ax + bx + c hvor a, b og c er reelle tall og a ikke er lik null.

To eksempler på standard andregradsligninger: f(x) = x + 2x + 1 og f(x) = 9x + 10x -8.

Toppunktformen. Her skrives andregradsligningen som: f(x) = a(x - h) + k hvor a, h og k er reelle tall og a ikke er lik null. Denne formen kalles toppunkt fordi h og k refererer direkte til toppunktet til parabelen din i punktet (h,k).

To eksempler på ligninger i toppunktform er f(x) = 9(x - 4) + 18 og -3(x - 5) + 1

For å kunne lage en graf av disse ligningene, bestemmer vi først toppen (h,k) av grafen. I standardligningen finner du dette via: h = -b/2a og k = f(h), mens det allerede er gitt i toppunktform fordi h og k forekommer i likningen.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 2

2. Bestem variablene dine. For å løse en kvadratisk ligning er det vanligvis nødvendig å bestemme variablene a, b og c (eller a, h og k). En vanlig oppgave vil gi deg en kvadratisk ligning i standardformen, men toppunktnotasjonen kan også forekomme.

For eksempel: standardfunksjonen f(x) = 2x +16x + 39. Her har vi a = 2, b = 16 og c = 39.

I toppunktnotasjon: f(x) = 4(x - 5) + 12. Her har vi a = 4, h = 5 og k = 12.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 3

3. Regn ut h. I toppunktnotasjonen er verdien av h allerede gitt, men i standardnotasjonen må denne verdien ennå ikke beregnes. Husk at for standardligningen er h = -b/2a.

Eksempel 1. (f(x) = 2x +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Ved å løse dette ser vi at h = -4.

Eksempel 2. (f(x) = 4(x - 5) + 12), ser vi umiddelbart at h = 5.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 4

4. Beregn k. Som med h, er k allerede kjent for ligninger i toppunktformen. For ligninger i standardnotasjon, husk at k = f(h). Du kan med andre ord finne k ved å erstatte hver variabel x med verdien av h.

Vi har for eksempel sett 1 at h = -4. For å finne k løser vi denne ligningen ved å sette inn denne verdien av h i ligningen, for variabelen x:

k = 2(-4) + 16(-4) + 39.

k = 2(16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

Fra eksempel 2 vet vi at verdien av k er lik 12, uten behov for en utregning.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 5

5. Tegn toppen eller bunnen av grafen. Kammen eller dalen til parabelen din er punktet (h, k) - h representerer x-koordinaten og k representerer y-koordinaten. Toppen er midten av parabelen din - det høyeste eller laveste punktet, toppen eller bunnen, av en graf i form av en "DU" eller vice versa. Å kunne bestemme toppunktet til en parabel er en viktig del av å kunne tegne en korrekt graf – ofte er det å bestemme toppunktet til en parabel en del av en matematikkoppgave på skolen.

I eksempel 1 er toppen av grafen (-4,7). Tegn punktet på grafen din og sørg for at du navngir koordinatene riktig.

I eksempel 2 er toppen (5,12). Så fra punktet (0,0) går du 5 plasser til høyre og deretter 12 opp.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 6

6. Tegn symmetriaksen til parablen. Symmetriaksen til en parabel er linjen som skjærer figuren i midten og deler den nøyaktig i to. Den ene siden av grafen speiles langs denne linjen i den andre siden av grafen. For andregradsligninger av enten formen ax + bx + c eller a(x - h) + k, er denne aksen linjen parallelt med y-aksen som går gjennom toppunktet til parabelen.

I tilfellet med eksempel 1 er symmetriaksen linjen parallelt med y-aksen og som går gjennom punktet (-4, 7). Selv om den ikke er en del av selve parablen, kan lett fremheving av denne retningslinjen vise deg hvor symmetrisk kurven til parablen er.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 7

7. Bestem retningen til parablen. Etter at du har funnet ut hva toppen av parablen er, er det nødvendig å vite om du har å gjøre med en fjellparabel eller en dalparabel, dvs. om åpningen er nederst eller øverst. Heldigvis er dette veldig enkelt. hvis "en" positivt at du har å gjøre med en dalparabel; er "en" negativ, så er det en fjellparabel (med åpningen nederst)

I eksempel 1 har vi å gjøre med funksjonen (f(x) = 2x +16x + 39), og dette er derfor en dalparabel, fordi a = 2 (positiv).

I eksempel 2 har vi å gjøre med funksjonen f(x) = 4(x - 5) + 12), og dette er også en dalparabel fordi a = 4 (positiv).

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 8

8. Bestem, om nødvendig, skjæringspunktene til parabelen. Ofte i matematikkoppgaver blir du bedt om å angi skjæringspunktene mellom parabelen og x-aksen (disse er "null", en eller to punkter der parabelen skjærer eller berører x-aksen). Selv om de ikke blir bedt om, er disse punktene svært viktige for å kunne tegne en nøyaktig graf. Men ikke alle parablene skjærer x-aksen. Hvis du har å gjøre med en dalparabel og dalpunktet er over x-aksen eller, når det gjelder en fjellparabel, rett under x-aksen, så er det rett og slett ingen skjæringspunkter å finne. I så fall, bruk en av følgende metoder:

Bestem at f(x) = 0 og løs likningen. Denne metoden kan fungere for enkle kvadratiske ligninger, spesielt i toppunktformen, men du vil finne at den blir vanskeligere og vanskeligere ettersom funksjonene blir mer komplekse. Nedenfor er noen eksempler.

f(x) = 4(x - 12)

0 = 4(x - 12) - 4

4 = 4(x - 12)

1 = (x - 12)

SqRt(1) = (x - 12)

+/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er skjæringene med x-aksen til parablen.

Faktorer ligningen. Noen ligninger av formen ax + bx + c kan enkelt skrives om som (dx + e)(fx +g), der dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfellet er x-avskjæringene verdiene til x hvor hvert ledd innenfor parentesen blir 0. For eksempel:

x + 2x + 1

= (x + 1)(x + 1)

I dette tilfellet er skjæringspunktet lik -1 fordi, når det fylles ut med begge faktorene, gir dette null.

Bruk abc-formelen. Hvis det ikke er lett å finne ut skjæringspunktene, eller faktorisere ligningen, bruk "abc formel" som er spesielt beregnet for dette. Anta en likning på formen ax + bx + c. Skriv deretter inn verdiene til a, b og c i formelen x = (-b +/- SqRt(b - 4ac))/2a. Merk at dette ofte gir deg to svar for x, noe som er greit - det betyr bare at parabelen din har to skjæringer med x-aksen. Her er et eksempel:

-Sett inn 5x + 1x + 10 i ligningen som følger:

x = (-1 +/- SqRt(1 - 4(-5)(10)))/2(-5)

x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10

x = (-1 +/- SqRt(201))/-10

x = (-1 +/- 14,18)/-10

x = (13,18/-10) og (-15,18/-10). Skjæringspunktet mellom parabelen og x-aksen er omtrent x = -1.318 og 1.518

Som i eksempel 1 med ligningen 2x + 16x + 39, vil dette se slik ut:

x = (-16 +/- SqRt(16 - 4(2)(39))))/2(2)

x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4

x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10

Siden det ikke er mulig å finne kvadratroten av et negativt tall, vet vi at det ikke eksisterer noen skjæringer med x-aksen for denne parabelen.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 9

9. Bestem eventuelt skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Det er ofte ikke nødvendig, men noen ganger nødvendig å finne dette skjæringspunktet, for eksempel for en matematikkoppgave. Dette er ganske enkelt - sett verdien av x til 0 og løs ligningen for f(x) eller y, som gir deg y-verdien til punktet der parabelen skjærer y-aksen. Forskjellen med skjæringene gjennom x-aksen er at med y-aksen er det alltid bare ett skjæringspunkt. Merk – for standardligninger er skjæringspunktet med y-aksen ved y = c.

For eksempel vet vi at vår andregradsligning 2x + 16x + 39 har et skjæringspunkt y = 39, men vi kan også finne dette som følger:

f(x) = 2x + 16x + 39

f(x) = 2(0) + 16(0) + 39

f(x) = 39. Skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen: y = 39. Som angitt ovenfor kan vi enkelt lese skjæringspunktet fordi y = c.

Ligningen 4(x - 5) + 12 har et skjæringspunkt med y-aksen som kan finnes som følger:

f(x) = 4(x - 5) + 12

f(x) = 4(0 - 5) + 12

f(x) = 4(-5) + 12

f(x) = 4(25) + 12

f(x) = 112. Skjæringspunktet med y-aksen: y = 112.

Bilde med tittelen Graph a Quadratic Equation Step 10

10. Hvis du finner dette nødvendig, tegn først ekstra poeng og deretter hele grafen. Du skal nå ha en topp eller dal, en retning, skjæringspunkter med x-aksen og muligens med y-aksen til ligningen din. Fra dette punktet kan du prøve å tegne parabelen ved å bruke disse punktene, eller du kan prøve å finne flere punkter for å gjøre grafen mer nøyaktig. Den enkleste måten å gjøre dette på er ganske enkelt ved å fylle inn et antall x-verdier, som returnerer et antall y-verdier. Du vil ofte bli bedt (av læreren) om først å regne ut et antall poeng før du kan tegne parabelen.

La oss ta en ny titt på ligningen x + 2x + 1. Vi vet allerede at det eneste skjæringspunktet med x-aksen er (-1,0). Siden den bare tangerer x-aksen på dette punktet, kan vi slutte at toppunktet på grafen er lik dette punktet. Så langt har vi bare ett punkt i denne parabelen – ikke på langt nær nok til å kunne tegne en graf. La oss finne noen flere punkter for å sikre at vi har flere verdier.

La oss prøve å finne y-verdiene assosiert med følgende x-verdier: 0, 1, -2 og -3.

x=0: f(x) = (0) + 2(0) + 1 = 1. Da er poenget (0,1).

x=1: f(x) = (1) + 2(1) + 1 = 4. Da er poenget (1,4).

x=-2: f(x) = (-2) + 2(-2) + 1 = 1. Da er poenget (-2,1).

x=-3: f(x) = (-3) + 2(-3) + 1 = 4. Da er poenget (-3,4).

Plasser disse punktene i grafen og tegn parabelen din. Legg merke til at parabelen er helt symmetrisk – kjenner du punktene på den ene siden av grafen kan du som regel spare deg selv for mye arbeid ved å bruke disse punktene til å finne punktene på den andre siden av symmetriaksen.

Tips

Rund tall om nødvendig eller bruk brøker. Dette kan bidra til å vise en graf riktig.
Merk at hvis for funksjonen f(x) = ax + bx + c, b eller c er lik null, vil disse leddene forsvinne. For eksempel er 12x + 0x + 6 lik 12x + 6 fordi 0x er lik 0.