Gratis trinnvis instruksjoner 
3x + 2x - 8 
6x + 13x + 6 
8x + 10x + 2 
27x - 12 = 0 
x + 4x + 1 = 0 
y = x − x − 2 
Hvis du ikke kan se hvor parabelen skjærer x-aksen, trykk [2nd] og deretter [TRACE]. Trykk på [2] eller velg "null". Flytt markøren til venstre for et veikryss og trykk [ENTER]. Flytt markøren til høyre side av et veikryss og trykk [ENTER]. Flytt markøren så nært som mulig til krysset og trykk [ENTER]. Kalkulatoren vil indikere x-verdien.Gjør det samme for det andre skjæringspunktet. 
Faktorisering av andregradsligninger
Innhold
Et polynom inneholder en variabel (x) hevet til en viss potens, og flere ledd og/eller konstanter. For å faktorisere et polynom, må du dele uttrykket ned i mindre uttrykk som multipliseres sammen. Dette krever et visst nivå av matematikk og kan derfor være vanskelig å forstå hvis du ikke er så langt ennå.
Trinn
Metode 1 av 7: Komme i gang
1. Ligningen. Standardformatet for en kvadratisk ligning er:
ax + bx + c = 0
Start med å sortere leddene i ligningen din fra høyeste til laveste potens. Ta for eksempel:
6 + 6x + 13x = 0
Vi skal omorganisere dette uttrykket for å gjøre det lettere å jobbe med – ganske enkelt ved å flytte begrepene rundt:
6x + 13x + 6 = 0
Start med å sortere leddene i ligningen din fra høyeste til laveste potens. Ta for eksempel:
Vi skal omorganisere dette uttrykket for å gjøre det lettere å jobbe med – ganske enkelt ved å flytte begrepene rundt:
2. Finn faktorene ved å bruke en av metodene nedenfor. Faktorisering av polynomet vil resultere i to mindre uttrykk som kan multipliseres sammen for å få det opprinnelige polynomet:
6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer fra det opprinnelige uttrykket, 6x + 13x + 6.
I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer fra det opprinnelige uttrykket, 6x + 13x + 6.
3. Sjekk arbeidet ditt! Multipliser faktorene du fant. Kombiner lignende termer og du er ferdig. Starte med:
(2x + 3)(3x + 2)
La oss teste dette ved å multiplisere begrepene med EBBL (først - ytre - indre - sist), som gir oss:
6x + 4x + 9x + 6
Nå legger vi 4x og 9x sammen fordi disse er like vilkår. Vi vet at faktorene er riktige fordi vi får tilbake ligningen vi startet med:
6x + 13x + 6
La oss teste dette ved å multiplisere begrepene med EBBL (først - ytre - indre - sist), som gir oss:
Nå legger vi 4x og 9x sammen fordi disse er like vilkår. Vi vet at faktorene er riktige fordi vi får tilbake ligningen vi startet med:
Metode 2 av 7: Prøve og feile
Hvis du har et ganske enkelt polynom, kan du kanskje se med en gang hva faktorene er. For eksempel, etter litt trening, er mange matematikere i stand til å se at uttrykket 4x + 4x + 1 har faktorene (2x + 1) og (2x + 1) bare fordi de har sett dette så mange ganger. (Dette vil selvsagt ikke være så lett med mer kompliserte polynomer.) La oss ta et mindre standarduttrykk for dette eksemplet:
1. Skriv ned faktorene til en sikt og c begrep. Bruk formatet ax + bx + c = 0, gjenkjenne en og c vilkår og merk hvilke faktorer det er. For 3x + 2x - 8 betyr dette:
a = 3 og har 1 par faktorer: 1 * 3
c = -8 og den har 4 par med faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.
2. Skriv to par parentes med et tomt mellomrom. Her skriver du inn konstantene til hvert uttrykk:
( x )( x )
3. Fyll plassen foran x-ene med noen mulige faktorer av en hvor i. For en begrepet i vårt eksempel, 3x, er det bare 1 mulighet:
(3x)(1x)
4. Fyll ut de 2 feltene etter x-ene med noen få faktorer for konstantene. Anta at vi velger 8 og 1. Skriv inn dette:
(3x 8)(X 1)
5. Bestem hvilke tegn (pluss eller minus) som skal plasseres mellom x-variablene og tallene. Avhengig av tegnene til det opprinnelige uttrykket, er det mulig å finne ut hva tegnene til konstantene skal være. La oss ta de to konstantene til de to faktorene h og k å nevne:
Hvis ax + bx + c så (x + h)(x + k)
Hvis ax - bx - c eller ax + bx - c så (x - h)(x + k)
Hvis ax - bx + c så (x - h)(x - k)
I vårt eksempel, 3x + 2x - 8, er tegnet:(x - h)(x + k), som gir oss følgende to faktorer:
(3x + 8) og (x - 1)
I vårt eksempel, 3x + 2x - 8, er tegnet:(x - h)(x + k), som gir oss følgende to faktorer:
6. Test valget ditt med første-ytre-indre-siste multiplikasjon. En rask første test for å se om mellomleddet er minst riktig verdi. Hvis ikke, har du sannsynligvis feil c faktorer som er valgt. La oss teste svaret:
(3x + 8)(x - 1)
Ved multiplikasjon får vi:
3x - 3x + 8x - 8
Forenkle dette uttrykket ved å legge til lignende termer (-3x) og (8x), og vi får:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi vet nå at vi tok feil faktorer:
3x + 5x - 8 3x + 2x - 8
Ved multiplikasjon får vi:
Forenkle dette uttrykket ved å legge til lignende termer (-3x) og (8x), og vi får:
Vi vet nå at vi tok feil faktorer:
7. Bytt ut valgene dine om nødvendig. I vårt eksempel, la oss prøve 2 og 4, i stedet for 1 og 8:
(3x + 2)(x - 4)
Nå vår c ledd lik -8, men det ytre/indre produktet av (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, som ikke er riktig b term eller +2x får.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Nå vår c ledd lik -8, men det ytre/indre produktet av (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, som ikke er riktig b term eller +2x får.
8. Snu rekkefølgen om nødvendig. La oss prøve å snu 2 og 4:
(3x + 4)(x - 2)
Nå vår c term (4 * 2 = 8) og fortsatt OK, men de ytre/indre produktene er -6x og 4x.Ved å kombinere disse får vi:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Vi nærmer oss 2x der vi ønsker å være, men skiltet er ikke riktig ennå.
Nå vår c term (4 * 2 = 8) og fortsatt OK, men de ytre/indre produktene er -6x og 4x.Ved å kombinere disse får vi:
9. Dobbeltsjekk karakterene dine om nødvendig. Vi beholder denne rekkefølgen, men bytter den med minustegnet:
(3x - 4)(x + 2)
Nå c term fortsatt ok, og de ytre/innerste produktene er nå (6x) og (-4x). Fordi:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Vi ser nå den positive 2x tilbake fra det opprinnelige problemet. Dette må være de riktige faktorene.
Nå c term fortsatt ok, og de ytre/innerste produktene er nå (6x) og (-4x). Fordi:
Metode 3 av 7: Dekomponering
Denne metoden gir alle mulige faktorer av en og c begreper og bruke dem for å finne ut hvilke faktorer som er riktige. Hvis tallene er veldig store, eller gjetting av andre metoder kommer til å ta for lang tid, bruk denne måten. Et eksempel:
1. Multipliser en termin med c begrep. I dette eksemplet,, en er 6 og c er også 6.
6 * 6 = 36
2. Finn b term ved faktorisering og testing. Vi ser etter 2 tall som er faktorer av en * c , og sammen b termin (13) form.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. Bytt ut de to tallene du får i ligningen din med summen av b begrep. La oss k og h for å representere de 2 tallene vi har, 4 og 9:
ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4. Faktor polynomet ved å gruppere. Organiser ligningen slik at du kan isolere den største felles divisor av de to første leddene og de to siste leddene. Begge faktorene bør være de samme. Legg til GCD-ene og plasser dem i parentes, ved siden av faktorene; som et resultat får du de to faktorene:
6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Metode 4 av 7: Triple Play
Ligner på nedbrytningsmetoden. `Trippelspill`-metoden undersøker de mulige faktorene til produktet av en og c og bruk den til å finne ut hva b må være. Ta ligningen som et eksempel:
1. Multipliser en termin med c begrep. Som med dekomponeringsmetoden bruker vi denne for å bestemme kandidatene for b begrep. I dette eksemplet: en er 8 og c er 2.
8 * 2 = 16
2. Finn de 2 tallene med dette tallet som produkt og med en sum lik b begrep. Dette trinnet tilsvarer dekomponeringsmetoden – vi tester kandidater for konstantene. Produktet av en og c vilkår er 16, og c termin er 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
3. Ta disse 2 tallene og bytt dem inn i "triple play"-formelen. Ta de 2 tallene fra forrige trinn - la oss sette dem h og k kall dem - og legg dem inn i uttrykket:
((ax + h)(ax + k))/ a
Med dette får vi:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Med dette får vi:
4. Se hvilken av de to leddene i nevneren som kan deles helt på en. I dette eksemplet ser vi på om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles på 8. (8x + 8) er delelig med 8, så vi deler dette leddet med en og la oss la den andre være i fred.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Begrepet vi har beholdt her er det som er igjen etter å ha delt med en term:(x + 1)
Begrepet vi har beholdt her er det som er igjen etter å ha delt med en term:(x + 1)
5. Ta den største felles divisor (gcd) av en eller begge ledd, hvis mulig. I dette eksemplet ser vi at det andre leddet har en gcd på 2, fordi 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombiner dette svaret med begrepet du oppdaget i forrige trinn. Dette er faktorene i ligningen din.
2(x + 1)(4x + 1)
Metode 5 av 7: Forskjellen mellom to kvadrater
Noen koeffisienter i et polynom kan gjenkjennes som "kvadrater", eller også som produktet av 2 av de samme tallene. Ved å finne ut hva disse kvadratene er, kan du kanskje faktorisere polynomene mye raskere. Vi tar ligningen:
1. Fjern gcd fra ligningen, hvis mulig. I dette tilfellet ser vi at 27 og 12 begge er delbare med 3, så vi kan sette dem separat:
27x - 12 = 3(9x - 4)
2. Bestem om koeffisientene til ligningen din er kvadrater. For å bruke denne metoden er det nødvendig å kunne bestemme roten til begrepene. (Merk at vi har utelatt desimaler - fordi disse tallene er kvadrater, kan de være produktet av 2 negative tall)
9x = 3x * 3x og 4 = 2 * 2
3. Ved å bruke kvadratroten du bestemte, kan du nå skrive ut faktorene. Vi tar en og c verdier fra forrige trinn: en = 9 og c = 4, så røttene til dette er: - √en = 3 ogc = 2. Dette er koeffisientene til de faktoriserte uttrykkene:
27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Metode 6 av 7: ABC-formelen
Hvis ingenting ser ut til å fungere og du ikke kan faktorisere ligningen, bruk abc-formelen. Ta følgende eksempel:
1. Fyll inn de tilsvarende verdiene, i abc-formelen:
x = -b ± √(b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får nå uttrykket:
x = -4 ± √(4 - 4•1•1) / 2
---------------------
2a
Vi får nå uttrykket:
2. Løs for x. Du skal nå få 2 verdier for x. Disse er:
x = -2 + √(3) eller x = -2 - √(3)
x = -2 + √(3) eller x = -2 - √(3)
3. Bruk verdiene til x for å bestemme faktorene. Fyll inn x-verdiene som er oppnådd i de to ligningene, som konstanter. Dette er dine faktorer. Hvis vi svarer på de to h og k så skriver vi de to faktorene som følger:
(x - h)(x - k)
I dette tilfellet er det endelige svaret:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
I dette tilfellet er det endelige svaret:
Metode 7 av 7: Bruk en kalkulator
Hvis det er tillatt (eller påkrevd) å bruke en grafisk kalkulator, gjør dette faktorisering mye enklere, spesielt under eksamener og eksamener. Følgende instruksjoner er for en TI-grafkalkulator. Vi bruker ligningen fra eksempelet:
1. Skriv inn ligningen i kalkulatoren. Du skal bruke ligningsløseren, også kjent som [Y = ]-skjermen.
2. Tegn ligningen grafisk med kalkulatoren. Når du har lagt inn ligningen, trykk [GRAPH] - du skal nå se en buet linje, en parabel som en grafisk representasjon av ligningen din (og det er en parabel, fordi vi har å gjøre med et polynom).
3. Finn hvor parabelen skjærer x-aksen. Siden en andregradsligning tradisjonelt er notert som ax + bx + c = 0, er dette de to x-verdiene som gjør ligningen lik null:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
4. Skriv inn x-verdiene du fikk, i de to faktoriserte uttrykkene. Hvis vi tar de to x-verdiene h og k skriv det ned som et begrep, så ser uttrykket vi bruker slik ut:
(x - h)(x - k) = 0
Så våre to faktorer blir da:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Så våre to faktorer blir da:
Tips
- Hvis du faktoriserte polynomet med abc-formelen, og svaret ditt inneholder røtter, kan du konvertere x-verdiene til brøker for å kontrollere dem.
- Hvis et ledd ikke har noen koeffisient foran seg, så er koeffisienten lik 1, f.eks. x = 1x.
- Hvis du har en TI-84 kalkulator, finnes det et program som heter SOLVER som kan løse en andregradsligning for deg. Dette løser også høyere grads polynomer.
- Etter mye trening vil du til slutt klare å løse polynomer utenat. Men bare for å være sikker, er det bedre å alltid skrive dem ut.
- Hvis et ledd ikke eksisterer, er koeffisienten lik null. Da kan det være nyttig å skrive om ligningen. F.eks. x + 6 = x + 0x + 6.
Advarsler
- Når du lærer dette konseptet i mattetimen, vær oppmerksom på hva læreren forklarer og ikke bare bruk din egen favorittmetode. Du kan bli bedt om å bruke en bestemt metode på en test, eller grafiske kalkulatorer er kanskje ikke tillatt.
Nødvendigheter
- Blyant
- Papir
- Andregradsligning (også kalt en andregradsligning)
- Grafkalkulator (valgfritt)
Artikler om emnet "Faktorisering av andregradsligninger"
Оцените, пожалуйста статью
Populær
