Hvordan beregne kvadratroten til et tall uten en kalkulator (med bilder)

Innhold

Trinn
- Metode 1 av 2: Rooting med primfaktorer
- Metode 2 av 2: Finne kvadratrøtter uten kalkulator
  - Med en lang divisjon
  - Forstå prosedyren
Tips
Advarsler

Før kalkulatoren kom, måtte både studenter og professorer regne ut kvadratrøtter med penn og papir. Ulike teknikker har blitt utviklet på den tiden for å takle denne til tider tunge oppgaven, hvor noen gir et grovt estimat og andre beregner den nøyaktige verdien. Les videre for å lære hvordan du finner kvadratroten av et tall i noen få enkle trinn.

Trinn

Metode 1 av 2: Rooting med primfaktorer

1. Del tallet ditt i firkanter. Denne metoden bruker faktorene til et tall for å finne kvadratroten av et tall (avhengig av tallet kan dette være et eksakt svar eller et estimat). De faktorer av et gitt tall er en tilfeldig rekkefølge av tall multiplisert sammen for å danne det bestemte tallet. For eksempel kan du si at faktorene 8 er lik 2 og 4 fordi 2 × 4 = 8. Perfekte kvadrater, derimot, er heltall som er produktet av andre heltall. For eksempel: 25, 36 og 49 er perfekte kvadrater fordi de er lik henholdsvis 5, 6 og 7. Andre potensfaktorer er, som du har forstått, faktorer som også er perfekte firkanter. For å finne en kvadratrot ved å bruke primfaktorer, prøv først å dele tallet i terningfaktorene.

Ta følgende eksempel. Vi skal finne kvadratroten av 400. Til å begynne med deler vi tallet i firkanter. Siden 400 er et multiplum av 100, vet vi at det er jevnt delelig med 25 - et perfekt kvadrat. Rask memorering forteller oss at 400 / 25 = 16. 16 er tilfeldigvis også en perfekt firkant. Så de kvadratiske faktorene på 400 er 25 og 16 fordi 25 × 16 = 400.
Vi skriver dette som: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 2

2. Ta kvadratrøttene til kvadratrøttene dine. Produktregelen for kvadratrøtter sier at for et gitt tall en og b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). På grunn av denne egenskapen kan vi nå ta kvadratrøttene til kubfaktorene og multiplisere dem sammen for svaret.

I vårt eksempel tar vi kvadratrøttene av 25 og 16. Se nedenfor:

Sqrt(25×16)

Sqrt(25) × Sqrt(16)

5 × 4 = 20

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 3

3. Hvis nummeret ditt ikke kan faktoriseres helt perfekt, forenkle det. I virkeligheten vil tallene du vil finne kvadratrøttene til ikke være fine avrundede tall med fine kvadratrøtter som 400. I disse tilfellene er det kanskje ikke mulig å få et heltall som svar. I stedet, ved å bruke alle kubene du kan finne, kan du bestemme svaret som en mindre, enklere å bruke kvadratrot. Dette gjør du ved å redusere tallet til en kombinasjon av kubefaktorer og andre faktorer, og så forenkle det.

La oss ta kvadratroten av 147 som et eksempel. 147 er ikke produktet av to perfekte kvadrater, så vi kan ikke få en fin heltallsverdi. Men det er produktet av et perfekt kvadrat og et annet tall - 49 og 3. Vi kan bruke denne informasjonen til å skrive svaret vårt på de enkleste vilkårene:

sqrt(147)

= Sqrt(49 × 3)

= Sqrt(49) × Sqrt(3)

= 7 × Sqrt(3)

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 4

4. Forenkle, om nødvendig. Ved å bruke kvadratroten i enkleste termer, er det vanligvis ganske enkelt å få et grovt estimat av svaret ved å estimere de resterende kvadratrøttene og multiplisere dem. En måte å forbedre gjetningene dine på er å finne de perfekte rutene på hver side av tallet i kvadratroten din. Du vet at desimalverdien til tallet i kvadratroten din er et sted mellom disse to tallene, så gjetningen din bør også ligge mellom disse tallene.

La oss gå tilbake til vårt eksempel. Siden 2 = 4 og 1 = 1, vet vi at Sqrt(3) er mellom 1 og 2 – sannsynligvis nærmere 2 enn 1. Vi anslår at 1,7. 7 × 1,7 = 11.9. Ved å sjekke dette med kalkulatoren ser vi at vi er ganske nær svaret: 12.13.

Dette fungerer også for de større tallene. For eksempel er Sqrt(35) omtrent mellom 5 og 6 (sannsynligvis nærmere 6). 5 = 25 og 6 = 36. 35 er mellom 25 og 36, så kvadratroten vil være mellom 5 og 6. Siden 35 er like under 36, kan vi med en viss sikkerhet si at kvadratroten bare er lavere enn 6. Å sjekke med kalkulator gir oss et svar på ca 5,92 – vi hadde rett.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 5

5. Alternativt, som et første trinn, kan du forenkle nummeret tilminste felles multiplum. Søket etter kvadratfaktorer er ikke nødvendig hvis du enkelt kan finne primfaktorene til et tall (faktorer som samtidig er primtall). Skriv tallet i form av minste felles multiplum. Søk deretter blant faktorene dine etter tilsvarende par med primtall. Hvis du finner to primfaktorer som samsvarer, fjern dem fra kvadratroten og sett en av disse tallene utenfor det radikale.

Et eksempel: vi bestemmer kvadratroten av 45 ved å bruke denne metoden. Vi vet at 45 = 9 × 5 og at 9 = 3 × 3. Så vi kan skrive kvadratroten slik: Sqrt(3 × 3 × 5). Bare fjern 3-tallet og plasser en 3-er utenfor radikalen for å få en forenklet kvadratrot: (3)Sqrt(5). Nå kan du enkelt anslå.

Et siste eksempel; vi bestemmer kvadratroten av 88:

sqrt(88)

= Sqrt(2 × 44)

= Sqrt(2 × 4 × 11)

= Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). Vi har flere 2-ere i kvadratroten vår. Siden 2 er primtall kan vi fjerne et par og plassere en 2 utenfor kvadratroten.

= Vår kvadratrot i enkleste termer er (2) Sqrt(2 × 11) eller (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Nå kan vi nærme oss Sqrt(2) og Sqrt(11) og finne et estimert svar, hvis vi ville.

Metode 2 av 2: Finne kvadratrøtter uten kalkulator

Med en lang divisjon

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 6

1. Del sifrene i nummeret ditt i par. Denne metoden ligner lang divisjon, som lar deg nøyaktig finn kvadratroten av et tall siffer for siffer. Selv om det ikke er avgjørende, kan det å dele et tall i brukbare biter gjøre det lettere å løse, spesielt hvis det er langt. Tegn først en vertikal linje som deler arbeidsområdet i 2 områder, deretter en kortere linje nær toppen av det høyre området, og deler den i en mindre øvre del og en større del under. Del deretter tallet inn i tallpar, med utgangspunkt i desimaltegn. I henhold til denne regelen blir 79520789182.47897 lik "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Skriv dette tallet øverst til venstre.

Som et eksempel, la oss beregne kvadratroten av 780,14. Del arbeidsområdet som angitt ovenfor og skriv ned "7 80, 14" i øverste venstre hjørne. Det er greit hvis det bare er ett tall helt til venstre, i stedet for to. Du skriver så svaret (kvadratroten av 780,14) øverst i det høyre området.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 7

2. Finn det største heltall n hvis kvadrat er mindre enn eller lik sifferet eller tallet lengst til venstre. Finn det største kvadratet som er mindre enn eller lik dette tallet, og finn kvadratroten av dette kvadratet. Dette nummeret er n. Legg merke til at i området øverst til høyre og skriv kvadratet av n i den nederste kvadranten av det området.

I vårt eksempel er sifferet lengst til venstre tallet 7. Fordi vi vet at 2 = 4 7 < 3 = 9, kan vi si at n = 2 fordi det er det største hele tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik 7. Skriv 2 i øvre høyre kvadrant. Dette er det første sifferet i svaret. Skriv 4 (kvadraten av 2) i nedre høyre kvadrant. Dette tallet er viktig for neste trinn.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 8

3. Trekk fra tallet du beregnet av sifferet eller tallet lengst til venstre. Som med lang divisjon, er neste trinn å trekke kvadratet fra tallet vi nettopp brukte til å beregne. Skriv dette tallet under tallet lengst til venstre og trekk dem fra hverandre. Skriv svaret nedenfor.

I vårt eksempel skriver vi en 4 under 7 og trekker den fra. Dette gir 3 som et svar.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 9

4. Flytt neste tall ned. Plasser denne ved siden av verdien du fant i forrige redigering. Multipliser tallet øverst til høyre med to og skriv det nede til høyre. Spar plass ved siden av tallet du nettopp skrev ned for multiplikasjonssummen som du skal gjøre i neste trinn. Skriv her `"_×_="`.

I vårt eksempel er følgende tall "80". Merk "80" ved siden av de 3 i venstre kvadrant. Multipliser deretter tallet øverst til høyre med 2. Dette tallet er 2, så 2 × 2 = 4. Merk "`4"` nederst til høyre, etterfulgt av _×_=.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 10

5. Skriv inn tallene til høyre. I det tomme rommet til summen (til høyre), skriv inn det største heltallet som vil gjøre resultatet av multiplikasjonssummen til høyre mindre enn eller lik gjeldende tall til venstre.

I vårt eksempel fyller vi inn 8, og dette gir 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dette er større enn 380. Så 8 er for stort, men 7 er det sannsynligvis ikke. Fyll inn 7 og løs: 4(7) × 7 = 329. 7 er bra fordi 329 er mindre enn 380. Merknad 7 øverst til høyre. Dette er det andre sifferet i kvadratroten av 780,14.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 11

6. Trekk tallet du nettopp har beregnet fra det gjeldende tallet til venstre. Så du trekker resultatet av multiplikasjonen til høyre fra det gjeldende svaret til venstre. Skriv svaret ditt rett under.

I vårt eksempel trekker vi 329 fra 380, og dette gir 51 som resultat.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 12

7. Gjenta trinn 4. Flytt neste tallpar fra 780,14 nedover. Hvis du kommer til et komma, skriv det kommaet i svaret til høyre. Multipliser deretter tallet øverst til høyre med 2 og skriv svaret ved siden av ("_ × _") som ovenfor.

I svaret vårt skriver vi nå komma fordi vi også møter dette i 780.14. Flytt neste par (14) ned i venstre kvadrant. 27 x 2 = 54, så vi skriver "54 _×_=" i nedre høyre kvadrant.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 13

8. Gjenta trinn 5 og 6. Finn det største tallet som gir et svar mindre enn eller lik gjeldende tall til venstre. Løse.

I vårt eksempel er 549 × 9 = 4941, som er mindre enn eller lik tallet til venstre (5114). 549 × 10 = 5490, som er for høyt, så 9 er svaret vårt. Skriv 9 som neste tall øverst til høyre og trekk multiplikasjonsresultatet fra det venstre tallet: 5114 -4941 = 173.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 14

9. For å gjøre resultatet nøyaktig, gjenta forrige prosedyre til du finner svaret med antall desimaler (hundredeler, tusendeler) du trenger.

Forstå prosedyren

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 15

1. Betrakt tallet hvis kvadratrot du vil beregne som arealet S av et kvadrat. Siden arealet av et kvadrat er L, der L er lengden på en av sidene, så ved å ta kvadratroten av tallet ditt, prøver du å beregne lengden L på siden av kvadratet.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 16

2. Gi hvert siffer i svaret ditt en bokstav. Gi variabelen A som det første sifferet av L (kvadratroten vi prøver å beregne). B er det andre sifferet, C er det tredje, og så videre.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 17

3. Gi et brev til hver "par tall" av tallet du starter med. Gi variabelen S_en til det første sifreparet i S (startverdien), S_b til det andre sifferparet osv.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 18

4. Forstå forholdet mellom denne metoden og lang divisjon. Denne metoden for å finne en kvadratrot er i hovedsak lang divisjon, dividere startverdien med kvadratroten og ta kvadratroten som svaret "datum". Som med lang divisjon, hvor du kun er interessert i neste siffer om gangen, er du bare interessert i de neste to sifrene om gangen (som tilsvarer det neste sifferet i kvadratroten).

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 19

5. Finn det største tallet hvis kvadrat er mindre enn eller lik S_en er. Det første sifferet A i svaret vårt er da det største hele tallet hvis kvadrat ikke er større enn S_en (A slik at A² ≤ Sa < (A+1)²). I vårt eksempel er S_en = 7 og 2² ≤ 7 < 3², så A = 2.

Merk at hvis du deler 88962 med 7 ved å bruke lang divisjon, er det første trinnet det samme: du har å gjøre med det første sifferet av 88962 (8) og du vil at det største sifferet multiplisert med 7 skal være mindre enn eller lik 8. I hovedsak bestemmer du d slik at 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). I dette tilfellet er d lik 1.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 20

6. Visualiser kvadratet du vil finne arealet av. Svaret ditt, kvadratroten av startverdien, er L, som beskriver lengden på kvadratet av området S (startverdien). Verdiene for A, B og C representerer tallene i verdien L. En annen måte å si dette på er at for et 2-sifret svar, 10A + B = L, og for et 3-sifret svar, 100A +10B + C = L, og så videre.

I vårt eksempel (10A+B)² = L = S = 100A² + 2×10A×B + B². Husk at 10A+B representerer svaret vårt L sammen med B i enhetsposisjonen, og A i titallet. For eksempel, hvis A=1 og B=2, så er 10A+B tallet 12. (10A+B)² er arealet av hele torget, mens 100A² er arealet av det største indre torget, B² er arealet av minste kvadrat og 10A×B er arealet av hvert av de gjenværende rektanglene. Gjennom denne lange, kompliserte prosedyren kan vi finne arealet av hele kvadratet ved å legge til arealene til kvadratene og rektanglene som utgjør det.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 21

7. Trekk A² fra S_en. Ta med et par tall (S_b) ned fra tallet S. s_en s_b er nesten det totale arealet av kvadratet, som du nettopp trakk fra området til den største indre firkanten. Resten er si tallet N1, som vi fikk i trinn 4 (N1 =380 i vårt eksempel). N1 er lik 2×10A×B + B² (arealet av de 2 rektanglene pluss arealet av det lille kvadratet).

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 22

8. Se på N1 = 2×10A×B + B², også skrevet som N1 = (2×10A + B) × B. I vårt eksempel kjenner du allerede til N1 (380) og A (2), så nå må du finne B. B er sannsynligvis ikke et heltall, så du trenger faktisk finn det største heltall B, slik at (2×10A + B) × B ≤ N1. Så nå har du: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 23

9. Løs ligningen. For å løse denne ligningen, multipliser A med 2, skift den til tiere (multipliser med 10), plasser B i enhetene og multipliser resultatet med B. Med andre ord, (2×10A + B) × B. Det er akkurat det du gjør når du skriver "N_×_=" (med N=2×A) i nedre høyre kvadrant i trinn 4. I trinn 5 bestemmer du det største heltall B som passer under linjen, slik at (2×10A + B) × B ≤ N1.

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 24

10. Trekk fra arealet (2×10A + B) × B fra det totale arealet. Dette gir arealet S-(10A+B)² som du ennå ikke har tatt hensyn til (og som du bruker til å beregne følgende tall på samme måte).

Bilde med tittelen Beregn en kvadratrot for hånd Trinn 25

11. For å beregne neste siffer C, gjenta prosedyren. Flytt neste tallpar fra S og ned (S_c) for å få N2 til venstre, og se etter den største C slik at du nå har: (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (lik to ganger det tosifrede tallet "A B" etterfulgt av "_×_=" . Bestem nå det største tallet du kan skrive inn her, som vil gi deg et svar som er mindre enn eller lik N2.

Tips

Hvis du flytter desimaltegnet to steder (en faktor 100) flyttes desimaltegnet i den tilsvarende kvadratroten med ett sted (en faktor på 10).
I eksemplet kan 1,73 betraktes som "hvile": 780,14 = 27,9² + 1,73.
Denne metoden fungerer for alle tallsystemer, ikke bare desimalsystemet (ti desimaler).
Legg gjerne utregningene der du vil. Noen skriver det over tallet de vil regne ut kvadratroten av.
En alternativ metode er følgende: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x) + ...))). For å beregne kvadratroten av 780,14, tar du for eksempel heltallet i andre kvadrat nærmest 780,14 (28), så =780,14, x=28 og y=-3,86. Utfylling og estimering gir oss x + y/(2x) og dette gir (forenklede termer) 78207/2800 eller ca. 27 931(1); neste termin, 4374188/156607 eller ca. 27.930986(5). Hvert ledd legger til omtrent 3 desimaler med presisjon til den forrige.

Advarsler

Pass på at du deler tallet i par med utgangspunkt i desimaltegn. Deling 79520789182.47897 as "79 52 07 89 18 2.4 78 97" gir et resultat som ikke er riktig.