Gratis trinnvis instruksjoner 
Hvis du har flere variabler, bare fortsett linjen så lenge det tar. For eksempel, hvis du prøvde å løse et system med seks variabler, vil standardskjemaet ditt se ut som Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G. I denne artikkelen vil vi fokusere på systemer med kun tre variabler. Å løse et større system er nøyaktig det samme, men tar bare mer tid og flere steg. Merk at i standardform er operasjonene mellom begrepene alltid et tillegg. Hvis det er en subtraksjon i ligningen din, i stedet for en addisjon, må du jobbe med dette senere ved å gjøre koeffisienten negativ. For å gjøre dette lettere å huske, kan du skrive om ligningen og legge til operasjonen og gjøre koeffisienten negativ. Du kan for eksempel skrive om ligningen 3x-2y+4z=1 til 3x+(-2y)+4z=1. 
Anta at du har et system som består av de tre ligningene 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Den øverste raden i matrisen din vil inneholde tallene 3, 1, -1, 9, da disse er koeffisientene og løsningen til den første ligningen. Merk at enhver variabel som ikke har en koeffisient antas å ha en koeffisient på 1. Den andre raden i matrisen blir 2, -2, 1, -3 og den tredje raden 1, 1, 1, 7. Pass på å justere x-koeffisientene i den første kolonnen, y-koeffisientene i den andre, z-koeffisientene i den tredje og løsningsleddene i den fjerde. Når du er ferdig med å jobbe med matrisen, vil disse kolonnene være viktige når du skal skrive løsningen din. 
Du kan angi en hvilken som helst spesifikk posisjon i en matrise ved å bruke en kombinasjon av R og C. For å betegne et begrep i den andre raden, tredje kolonnen, kan du for eksempel kalle det R2C3. 
Det er vanlig å bruke brøker i skalar multiplikasjon fordi man ofte ønsker å få en diagonal rad med 1-er. Bli vant til å jobbe med brøker. Det vil også være lettere (for de fleste trinnene i å løse matrisen) å være i stand til å skrive brøkene dine i feil form, og deretter konvertere dem tilbake til blandede tall for den endelige løsningen. Derfor er tallet 1 2/3 lettere å jobbe med hvis du skriver det som 5/3. For eksempel starter den første raden (R1) i eksempeloppgaven vår med begrepene [3.1,-1,9]. Løsningsmatrisen må inneholde en 1 i den første posisjonen i den første raden. For å `gjøre` 3-eren til en 1, kan vi multiplisere hele raden med 1/3. Dette skaper den nye R1 på [1.1/3,-1/3.3]. Sørg for å legge igjen eventuelle negative tegn der de hører hjemme. 
Du kan bruke forkortet notasjon og erklære denne operasjonen som R2-R1=[0,-1,2,6]. Husk at addisjon og subtraksjon er bare motsatte former for samme operasjon. Du kan tenke på det som å legge til to tall eller trekke fra det motsatte. For eksempel, hvis du starter med den enkle ligningen 3-3=0, kan du tenke på dette som et addisjonsproblem på 3+(-3)=0. Resultatet er det samme. Dette virker enkelt, men det er noen ganger lettere å vurdere et problem i en eller annen form. Bare hold øye med dine negative tegn. 
Par; at det er en rad 1 av [1,1,2,6] og en rad 2 av [2,3,1,1]. Du vil ha et 0-ledd i den første kolonnen i R2. Det vil si at du vil endre 2-en til 0. For å gjøre dette må du trekke fra en 2. Du kan få 2 ved først å multiplisere rad 1 med skalarmultiplikasjonen 2, og deretter trekke den første raden fra den andre raden. I forkortet form kan dette skrives som R2-2*R1. Gang først R1 med 2 for å få [2,2,4,12]. Trekk så dette fra R2 for å få [(2-2),(3-2),(1-4),(1-12)]. Forenkle dette og din nye R2 blir [0,1,-3,-11]. 
En vanlig feil oppstår når du utfører et kombinert multiplikasjons- og addisjonstrinn i ett trekk. Anta for eksempel at du må trekke R1 fra R2 to ganger. Når du multipliserer R1 med 2 for å gjøre dette trinnet, husk at R1 ikke endres i matrisen. Du gjør bare multiplikasjonen for å endre R2. Kopier R1 i sin opprinnelige form først, og gjør deretter endringen til R2. 
1. Lag en 1 i første rad, første kolonne (R1C1). 2. Lag en 0 i den andre raden, første kolonne (R2C1). 3. Lag en 1 i andre rad, andre kolonne (R2C2). 4. Lag en 0 i den tredje raden, første kolonne (R3C1). 5. Lag en 0 i tredje rad, andre kolonne (R3C2). 6. Lag en 1 i tredje rad, tredje kolonne (R3C3). 
Lag en 0 i andre rad, tredje kolonne (R2C3). Lag en 0 i første rad, tredje kolonne (R1C3). Lag en 0 i første rad, andre kolonne (R1C2). 
Merk at multiplikasjon og divisjon bare er inverse funksjoner av hverandre. Vi kan si at vi multipliserer med 1/3 eller deler på 3, uten å endre resultatet. 
Skriv rad 3 (som ikke er endret) hvis R3=[1,1,1,7]. Vær forsiktig når du trekker fra negative tall for å sikre at tegnene forblir riktige. La oss nå først sette brøkene i feil form. Dette gjør senere trinn i løsningen enklere. Du kan forenkle brøkene i siste trinn av oppgaven. 
Merk at hvis venstre halvdel av sekvensen begynner å se ut som løsningen med 0 og 1, kan høyre halvdel se stygg ut, med uekte brøker. Bare la dem være for det de er nå. Ikke glem å fortsette å kopiere de upåvirkede radene, så R1=[1,1/3,-1/3,3] og R3=[1,1,1,7]. 
Fortsett å kopiere langs R1=[1.1/3,-1/3.3] og R2=[0.1,-5/8.27/8]. Husk at du bare endrer én rad om gangen. 
Merk at brøkene som virket ganske kompliserte i forrige trinn allerede begynner å løse seg. Fortsett med R1=[1.1/3,-1/3.3] og R2=[0.1,-5/8.27/8]. Merk at du på dette tidspunktet har diagonalen på 1-er for løsningsmatrisen. Du trenger bare å konvertere tre elementer av matrisen til 0-er for å finne løsningen din. 
Ta så R1=[1,1/3,-1/3,3] og R3=[0,0,1,1]. 
Ta den uendrede R2=[0,1,0,4] og R3=[0,0,1,1]. 
1002 0104 0011 
Siden hver ligning forenkler til en sann matematisk påstand, er løsningene dine riktige. Hvis noen av løsningene ikke er riktige, vennligst sjekk arbeidet ditt på nytt og se etter eventuelle feil. Noen vanlige feil oppstår når man blir kvitt minustegn underveis eller når man forveksler multiplikasjon og addisjon av brøker. 
Løs matriser
Innhold
En matrise er en veldig nyttig måte å representere tall i et blokkformat, som du deretter kan bruke til å løse et system med lineære ligninger. Hvis du bare har to variabler, vil du sannsynligvis bruke en annen metode. Les om dette i Løse et ligningssystem for eksempler på disse andre metodene. Men hvis du har tre eller flere variabler, er en matrise ideell. Ved å bruke gjentatte kombinasjoner av multiplikasjon og addisjon kan man systematisk komme frem til en løsning.
Trinn
Del 1 av 4: Tegning av matrisen
1. Kontroller at du har nok data. For å få en unik løsning for hver variabel i et lineært system ved hjelp av en matrise, må du ha like mange ligninger som antallet variabler du prøver å løse. For eksempel: med variablene x, y og z trenger du tre likninger. Hvis du har fire variabler, trenger du fire ligninger.
- Hvis du har færre ligninger enn antall variabler, vil du lære noen grenser for variablene (som x = 3y og y = 2z), men du vil ikke kunne få en presis løsning. For denne artikkelen vil vi kun jobbe mot en unik løsning.
2. Skriv ligningene dine på standardform. Før du kan helle data fra ligningene inn i en matriseform, skriver du først hver ligning på standardform. Standardformen for en lineær ligning er Ax+By+Cz=D, der de store bokstavene er koeffisientene (tall), og det siste tallet (i dette eksemplet, D) er til høyre for likhetstegnet.
3. Plasser tallene fra ligningssystemet i en matrise. En matrise er en gruppe tall, ordnet i en slags tabell, som vi skal jobbe med for å løse systemet. Den inneholder i utgangspunktet de samme dataene som selve ligningene, men i et enklere format. For å lage matrisen til ligningene dine i standardform, kopier ganske enkelt koeffisientene og resultatet av hver ligning til en enkelt rad, og stable disse radene oppå hverandre.
4. Tegn en stor firkantet parentes rundt hele matrisen. Ved konvensjon er en matrise betegnet med et par firkantede parenteser, [ ], rundt hele tallblokken. Parentesen påvirker ikke løsningen på noen måte, men de indikerer at du jobber med matriser. En matrise kan bestå av et hvilket som helst antall rader og kolonner. I denne artikkelen vil vi bruke parenteser rundt en rad med termer for å indikere at de hører sammen.
5. Bruk av vanlig symbolikk. Når man arbeider med matriser er det vanlig å referere til radene med forkortelsen R og kolonnene med forkortelsen C. Du kan bruke tall sammen med disse bokstavene for å angi en bestemt rad eller kolonne. For å indikere rad 1 i en matrise, kan du for eksempel skrive R1. Rad 2 blir da R2.
Del 2 av 4: Lære operasjonene for å løse et system med en matrise
1. Forstå formen på løsningsmatrisen. Før du begynner å løse ligningssystemet ditt, må du forstå hva du skal gjøre med matrisen. På dette tidspunktet har du en matrise som ser slik ut:
- 31-19
- 2-21-3
- 1117
- Du jobber med en rekke grunnleggende operasjoner for å lage `løsningsmatrisen`. Løsningsmatrisen vil se slik ut:
- 100x
- 010y
- 001z
- Legg merke til at matrisen består av 1-er i en diagonal linje med 0-er i alle andre mellomrom unntatt den fjerde kolonnen. Tallene i fjerde kolonne er løsningene for variablene x, y og z.
2. Bruk skalar multiplikasjon. Det første verktøyet du har til rådighet for å løse et system ved hjelp av en matrise er skalar multiplikasjon. Dette er ganske enkelt et begrep som betyr at du multipliserer elementene i en rad i matrisen med et konstant tall (ikke en variabel). Når du bruker skalar multiplikasjon, husk at du må multiplisere hvert ledd i hele sekvensen med hvilket tall du velger. Hvis du glemmer første ledd og bare multipliserer, får du en feil løsning. Du trenger imidlertid ikke å multiplisere hele matrisen samtidig. Med skalar multiplikasjon arbeider du bare på en rad om gangen.
3. Bruk radaddisjon eller radsubtraksjon. Det andre verktøyet du kan bruke er å legge til eller trekke fra to rader av matrisen. For å lage 0-leddene i løsningsmatrisen må du legge til eller trekke fra tall for å komme til 0. For eksempel, hvis R1 i en matrise er [1,4,3,2] og R2 er [1,3,5,8], kan du trekke den første raden fra den andre raden og lage en ny rad [ 0,-1, 2,6], fordi 1-1=0 (første kolonne), 3-4=-1 (andre kolonne), 5-3=2 (tredje kolonne) og 8-2=6 (fjerde kolonne) kolonne). Når du utfører en radaddisjon eller subtraksjon, skriv om det nye resultatet i stedet for raden du startet med. I dette tilfellet vil vi ta ut rad 2 og sette inn den nye raden [0,-1,2,6].
4. Kombiner radaddisjon og skalar multiplikasjon i ett enkelt trinn. Du kan ikke forvente at termene alltid stemmer overens, så kan bruke en enkel addisjon eller subtraksjon for å lage 0-er i matrisen din. Oftere må du legge til (eller trekke fra) et multiplum av en annen rad. For å gjøre dette, gjør den skalar multiplikasjonen først, og legg deretter det resultatet til målraden du prøver å endre.
5. Kopier rader som forblir uendret mens du arbeider. Når du arbeider med matrisen, vil du endre en enkelt rad om gangen, enten ved skalar multiplikasjon, radaddisjon eller radsubtraksjon, eller ved en kombinasjon av trinn. Når du endrer en rad, sørg for å kopiere de andre radene i matrisen i deres opprinnelige form.
6. Arbeid fra topp til bunn først. For å løse systemet jobber du i et veldig organisert mønster, og "løser" i hovedsak ett ledd av matrisen om gangen. Rekkefølgen for en matrise med tre variabler vil se slik ut:
7. Arbeid tilbake fra bunn til topp. På dette tidspunktet, hvis du har gjort trinnene riktig, er du halvveis i løsningen. Du må ha diagonallinjen med 1-er, med 0-er under. Tallene i den fjerde kolonnen spiller ingen rolle på dette tidspunktet. Nå jobber du opp igjen som følger:
8. Sjekk om du har laget løsningsmatrisen. Hvis arbeidet ditt er riktig, har du laget løsningsmatrisen med 1-er i en diagonal linje med R1C1, R2C2, R3C3 og 0-er i de andre posisjonene i de tre første kolonnene. Tallene i den fjerde kolonnen er løsningene for ditt lineære system.
Del 3 av 4: Sette sammen trinnene for å løse systemet
1. Start med et eksempelsystem med lineære ligninger. For å øve på disse trinnene, la oss starte med systemet vi brukte tidligere: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Hvis du skriver dette i en matrise, har du R1= [3.1,-1,9], R2=[2,-2,1,-3] og R3=[1,1,1,7].
2. Lag en 1 i første posisjon R1C1. Merk at R1 for øyeblikket starter med en 3. Du må endre den til en 1. Du kan gjøre dette ved skalar multiplikasjon, ved å multiplisere alle fire ledd i R1 med 1/3. I stenografi kan du skrive som R1*1/3. Dette gir et nytt resultat for R1 hvis R1=[1,1/3,-1/3,3]. Bruk R2 og R2, uendret, hvis R2=[2,-2,1,-3] og R3=[1,1,1,7].
3. Lag en 0 i den andre raden, første kolonne (R2C1). På dette tidspunktet er R2=[2,-2,1,-3]. For å komme nærmere løsningsmatrisen, må du endre det første leddet fra en 2 til en 0. Du kan gjøre dette ved å trekke to ganger verdien fra R1, siden R1 starter med en 1. I stenografi er operasjonen R2-2*R1. Husk at du ikke endrer R1, bare jobb med den. Så først kopier R1 hvis R1=[1,1/3,-1/3,3]. Hvis du deretter dobler hvert ledd av R1, får du 2*R1=[2,2/3,-2/3,6]. Til slutt, trekk dette resultatet fra den opprinnelige R2 for å få din nye R2. Arbeidsledd for ledd, blir denne subtraksjonen (2-2), (-2-2/3), (1-(-2/3), (-3-6). Vi forenkler dette til den nye R2=[0,-8/3,5/3,-9]. Merk at det første leddet er 0 (uansett hva målet ditt var).
4. Lag en 1 i andre rad, andre kolonne (R2C2). For å fortsette å danne den diagonale linjen til 1-er, må du konvertere andre ledd -8/3 til 1. Gjør dette ved å multiplisere hele raden med det gjensidige av det tallet (-3/8). Symbolsk sett er dette trinnet R2*(-3/8). Den resulterende andre raden er R2=[0.1,-5/8.27/8].
5. Lag en 0 i den tredje raden, første kolonne (R3C1). Fokuset ditt flyttes nå til den tredje raden, R3=[1,1,1,7]. For å lage en 0 i den første posisjonen, må du trekke en 1 fra den 1 som er i den posisjonen. Hvis du ser opp, er det en 1 i den første posisjonen til R1. Så du trenger bare å trekke R1 fra R3 for å få resultatet du trenger. Arbeidstermin for termin blir dette (1-1), (1-1/3), (1-(-1/3)), (7-3). Disse fire miniproblemene kan deretter forenkles til den nye R3=[0.2/3.4/3.4].
6. Lag en 0 i tredje rad, andre kolonne (R3C2). Denne verdien er for øyeblikket 2/3, men må konverteres til en 0. Ved første øyekast ser det ut til at du kan dobbelttrahere R1-verdiene, siden den tilsvarende kolonnen i R1 inneholder en 1/3. Men hvis du dobler og trekker fra alle verdiene til R1, endres 0-en i den første kolonnen i R3, noe du ikke vil ha. Dette vil være et skritt tilbake i løsningen din. Så du må jobbe med en kombinasjon av R2. Hvis du trekker 2/3 fra R2, lager du en 0 i den andre kolonnen, uten å endre den første kolonnen. I forkortet form er dette R3- 2/3*R2. De individuelle vilkårene blir (0-0), (2/3-2/3), (4/3-(-5/3*2/3)), (4-27/8*2/3). Forenkling gir da R3=[0,0,42/24.42/24].
7. Lag en 1 i tredje rad, tredje kolonne (R3C3). Dette er en enkel multiplikasjon med den gjensidige av tallet det står. Gjeldende verdi er 42/24, så du kan multiplisere med 24/42 for å få ønsket verdi på 1. Merk at de to første leddene begge er 0, så enhver multiplikasjon forblir 0. Den nye verdien av R3=[0,0,1,1].
8. Lag en 0 i andre rad, tredje kolonne. R2 er for øyeblikket [0.1,-5/8.27/8], med en verdi på -5/8 i den tredje kolonnen. Du må transformere den til en 0. Dette betyr at du må utføre en eller annen operasjon med R3 som består i å legge til 5/8. Siden den tilsvarende tredje kolonnen i R3 er en 1, må du multiplisere alle verdiene til R3 med 5/8 og legge resultatet til R2. Kort fortalt er dette R2+5/8*R3. Term for term er dette R2=(0+0), (1+0), (-5/8+5/8), (27/8+5/8). Dette kan forenkles til R2=[0,1,0,4].
9. Lag en 0 i første rad, tredje kolonne (R1C3). Den første raden er for øyeblikket R1=[1.1/3,-1/3.3]. Du må konvertere -1/3 i den tredje kolonnen til en 0, ved å bruke en kombinasjon av R3. Du vil ikke bruke R2, fordi 1-en i den andre kolonnen i R2 vil endre R1 på feil måte. Så du multipliserer R3*1/3 og legger resultatet til R1. Notasjonen for dette er R1+1/3*R3. Å regne det ut termin for termin resulterer i R1=(1+0), (1/3+0), (-1/3+1/3), (3+1/3). Du kan forenkle dette til en ny R1=[1,1/3,0,10/3].
10. Lag en 0 i første rad, andre kolonne (R1C2). Hvis alt er gjort riktig, bør dette være det siste trinnet. Du må konvertere 1/3 i den andre kolonnen til en 0. Du kan få dette ved å multiplisere og subtrahere R2*1/3. Kort fortalt er dette R1-1/3*R2. Resultatet er R1=(1-0), (1/3-1/3), (0-0), (10/3-4/3). Forenkling gir da R1=[1,0,0,2].
11. Søk etter løsningsmatrisen. På dette tidspunktet, hvis alt gikk bra, ville du ha de tre radene R1=[1,0,0,2], R2=[0,1,0,4] og R3=[0,0,1,1] må ha. Merk at hvis du skriver dette i blokkmatriseform med radene oppå hverandre, har du diagonale 1-er med 0-er lenger på, og løsningene dine er i fjerde kolonne. Løsningsmatrisen skal se slik ut:
12. Forstå løsningen din. Når du har konvertert de lineære ligningene til en matrise, setter du x-koeffisientene i den første kolonnen, y-koeffisientene i den andre kolonnen, z-koeffisientene i den tredje kolonnen. Hvis du nå vil skrive om matrisen til ligninger, betyr disse tre linjene i matrisen faktisk de tre ligningene 1x+0y+0z=2, 0x+1y+0z=4 og 0x+0y+1z=1. Siden vi kan krysse ut 0-leddene og ikke trenger å skrive 1-koeffisientene, forenkler disse tre likningene til løsningen, x=2, y=4 og z=1. Dette er løsningen på systemet med lineære ligninger.
Del 4 av 4: Sjekker løsningen din
1. Bearbeid løsningene i hver variabel i hver ligning. Det er alltid en god idé å sjekke om løsningen din faktisk er riktig. Dette gjør du ved å teste resultatene dine i de opprinnelige ligningene.
- De opprinnelige ligningene for dette problemet var: 3x+y-z=9, 2x-2y+z=-3 og x+y+z=7. Når du erstatter variablene med verdiene du fant, får du 3*2+4-1=9, 2*2-2*4+1=-3 og 2+4+1=7.
2. Forenkle enhver ligning. Utfør operasjonene i hver ligning i henhold til de grunnleggende operasjonsreglene. Den første ligningen forenkles til 6+4-1=9, eller 9=9. Den andre ligningen kan forenkles til 4-8+1=-3, eller -3=-3. Den siste ligningen er ganske enkelt 7=7.
3. Skriv ned dine endelige løsninger. For dette gitte problemet er den endelige løsningen x=2, y=4 og z=1.
Tips
- Hvis ligningssystemet ditt er veldig komplekst, med mange variabler, kan det være lurt å bruke en grafisk kalkulator i stedet for å gjøre arbeidet for hånd. For informasjon om dette kan du også konsultere wikiHow.
Artikler om emnet "Løs matriser"
Оцените, пожалуйста статью
Populær
