Bestemme determinanten for en 3x3-matrise: 12 trinn (med bilder)

Innhold

Trinn
- Del 1 av 2: Bestemme determinanten
- Del 2 av 2: Forenkling av problemet
Tips

Determinanten til en matrise er mye brukt i matematikk, lineær algebra og høyere geometri. Utenfor den vitenskapelige verden bruker datagrafikkingeniører og programmerere ofte determinantene til matriser. Les denne artikkelen for å bestemme determinanten til en 3x3-matrise.

Trinn

Del 1 av 2: Bestemme determinanten

1. Skriv ned 3 x 3-matrisen din. Vi starter med en 3 x 3 matrise A og prøver determinanten |A| å like det. Vi bruker følgende generelle notasjon for matrisen (og dette er vår eksempelmatrise):

$m = (\begin{matrix} en \end{matrix} 11 {en}_{12} {en}_{1. 3} {en}_{21} & {en}_{22} & {en}_{23} {en}_{31} & {en}_{32} & {en}_{33}) = (\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{matrix})$ $M={begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\a_{{21}}&a_{{22}}&a_{ {23}}\a_{{31}}&a_{{32}}&a_{{33}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&5&3\2& 4&7\4&6&2end{pmatrix}}$

Bilde med tittelen Finn determinanten for en 3X3-matrise Trinn 2

2. Velg én rad eller kolonne. Dette vil være referanseraden eller kolonnen din. Du vil få samme svar uansett hvilken du velger. Nå er det bare å velge den første raden. Senere vil vi gi deg råd om hvordan du velger det alternativet som er lettest å beregne.

La oss velge den første raden i eksempelmatrisen A. Sett ring rundt 1 5 3. Generelt sett ring a₁₁ en₁₂ en_{1. 3}.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 3

3. Kryss ut raden og kolonnen til det første elementet. Se på raden eller kolonnen du har ringt rundt og velg det første elementet. Tegn en linje gjennom den tilsvarende raden og kolonnen. Hvis alt går bra, gir dette nå fire tall. Vi behandler dette som en 2 x 2 matrise.

I vårt eksempel er referanseraden 1 5 3. Den første element er i rad 1 og kolonne 1. Kryss ut rad 1 og kolonne 1 helt. Skriv ned de resterende elementene som en2 x 2 matrise:

~~1 5 3~~
2 4 7
4 6 2

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 4

4. Bestem determinanten for 2 x 2 matrisen. Ikke glem: matrisen

(\begin{matrix} en & b \\ c & d \end{matrix})

${begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}$ har en determinant av annonse - f.Kr. Dette vet du ved å trekke et kryss (X) gjennom 2 x 2-matrisen. Multipliser de to tallene forbundet med i X. Trekk deretter fra produktet av de to tallene forbundet med /. Bruk denne formelen til å beregne determinanten for matrisen du nettopp fant.

I vårt eksempel er determinanten for matrisen

(\begin{matrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}4&7\6&2end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.

Denne determinanten kalles liten av elementet vi valgte i vår opprinnelige matrise. I dette tilfellet har vi den mindreårige av en₁₁ funnet det.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 5

5. Multipliser svaret med elementet du har valgt. Husk at du valgte et element fra referanseraden (eller -kolonnen) når du bestemte deg for hvilken rad og kolonne som skulle krysses ut. Multipliser dette elementet med determinanten du nettopp beregnet for 2x2-matrisen.

I vårt eksempel har vi en₁₁ valgt, som har en verdi på 1. Multipliser dette med -34 (determinanten for 2x2-matrisen) for å få 1*-34 = -34 å få.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 6

6. Bestem tegnet på svaret ditt. Multipliser nå svaret med 1 eller med -1 for å få kofaktor av ditt valgte element. Hvilken du bruker avhenger av plasseringen til elementet i 3x3-matrisen. Husk følgende enkle tabell for å finne ut hvilket element som forårsaker hva:

+ - +
- + -
+ - +

Fordi vi en₁₁ har valgt, merket med en +, multipliserer vi tallet med +1 (med andre ord, vi gjør ikke noe med det). Svaret er fortsatt -34.

En annen måte å bestemme tegnet på er med formelen (-1), hvor Jeg og j danner raden og kolonnen til elementet.

Bilde med tittelen Finn determinanten for en 3X3-matrise Trinn 7

7. Gjenta denne prosessen for det andre elementet i referanseraden eller -kolonnen. Fortsett med den originale 3x3-matrisen, med raden eller kolonnen du satte en sirkel rundt tidligere. Gjenta samme prosess med dette elementet:

Kryss raden og kolonnen til det elementet. I dette tilfellet velger du elementet a₁₂ (med verdi 5). Kryss den første raden (1 5 3) og den andre kolonnen

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})

${begin{pmatrix}5\4\6end{pmatrix}}$ .

Behandle de gjenværende elementene som en 2x2 matrise. I vårt eksempel er matrisen

(\begin{matrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}2&7\4&2end{pmatrix}}$

Bestem determinanten for denne 2x2-matrisen. Bruk formelen ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

Multipliser dette med det valgte elementet i 3x3-matrisen. -24 * 5 = -120

Bestem om du skal multiplisere med -1. Bruk tegntabellen eller formelen (-1). Vi har element a₁₂ valgt, og det er en – på tegntabellen. Vi må endre tegnet på svaret vårt: (-1)*(-120) = 120.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 8

8. Gjenta for det tredje elementet. Du må nå finne en kofaktor. Beregn i for det tredje leddet i referanseraden eller -kolonnen. Her er en rask forklaring på hvordan du beregner kofaktoren til _{1. 3} i vårt eksempel:

Kryss rad 1 og kolonne 3 og få

(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix})

${begin{pmatrix}2&4\4&6end{pmatrix}}$

Dens determinant er 2*6 - 4*4 = -4.

Multipliser dette med elementet a_{1. 3}: -4 * 3 = -12.

element a_{1. 3} er en + på tegntabellen, så svaret er -12.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 9

9. Legg de tre resultatene sammen. Dette er det siste trinnet. Du beregnet kofaktorer, én for hvert element i en enkelt rad eller kolonne. Legg disse sammen og du har funnet determinanten til 3x3-matrisen.

I vårt eksempel er determinanten -34 + 120 + -12 = 74.

Del 2 av 2: Forenkling av problemet

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 10

1. Velg referansen med flest nuller. Ikke glem at du Hver kan velge rad eller kolonne som referanse. Du vil få samme svar uansett hva du velger. Hvis du velger en rad eller kolonne med nuller, trenger du bare å beregne kofaktoren til elementene som ikke er null. Årsaken er som følger:

Anta at du velger rad 2, med elementene a₂₁, en₂₂, og a₂₃. For å løse dette problemet ser vi på tre forskjellige 2x2 matriser. Anta at vi kaller dette A₂₁, en₂₂ og A₂₃.
Determinanten for 3x3-matrisen er a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
Hvis vilkårene a₂₂ og a₂₃ er begge 0, så blir formelen vår₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Nå trenger vi bare å beregne kofaktoren til et enkelt element.

Bilde med tittelen Finn determinanten til en 3X3-matrise Trinn 11

2. Legg sammen radene for å forenkle matrisen. Hvis du tar verdiene til en rad og legger dem til en annen rad, vil ikke determinanten til matrisen endres. Det samme gjelder kolonner. Du kan gjøre dette gjentatte ganger - eller multiplisere verdiene med en konstant før du legger til - for å få så mange nuller i matrisen som mulig. Dette kan spare deg for mye arbeid.

Anta for eksempel at du har en 3x3 matrise:

(\begin{matrix} 9 & - 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & - 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}9&-1&2\3&1&0\7&5&-2end{pmatrix}}$

Hver 9. i posisjon a₁₁ for å bli kvitt det, kan vi gange den andre raden med -3 og legge resultatet til den første. Den nye første raden blir da [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].

Den nye matrisen er

(\begin{matrix} 0 & - 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & - 2 \end{matrix})

${begin{pmatrix}0&-4&2\3&1&0\7&5&-2end{pmatrix}}$ Prøv å bruke samme triks for kolonnene, til₁₂ å lage en 0.

Bilde med tittelen Finn determinanten for en 3X3-matrise Trinn 12

3. Lær trikset for å løse trekantmatriser. I disse spesielle tilfellene er determinanten ganske enkelt produktet av elementene langs hoveddiagonalen, fra a₁₁ øverst til venstre til a₃₃ Nede til høyre. Vi snakker fortsatt om 3x3 matriser, men `trekantede` matriser har spesielle verdimønstre som ikke null er:

Øvre trekantmatrise: Alle elementer som ikke er null er på eller over hoveddiagonalen. Alle verdier nedenfor er null.

Nedre trekantmatrise: Alle elementer som ikke er null er på eller under hoveddiagonalen.

Diagonal matrise: Alle elementer som ikke er null er på hoveddiagonalen. (En undergruppe av ovenstående.)

Tips

Denne metoden kan brukes for kvadratiske matriser av alle størrelser. For eksempel, hvis du bruker dette for en 4x4 matrise, så holder du etter "krysse ut" en 3x3 matrise, som du kan beregne determinanten for som angitt ovenfor. Vær advart, for å gjøre dette for hånd vil være veldig kjedelig!
Hvis alle elementene i en rad eller kolonne er lik 0, er determinanten til den matrisen lik 0.