Hvordan beregne arealet til en Pentagon

Innhold

Trinn
Tips

En femkant er en polygon med fem rette sider. Nesten alle problemer du vil møte i mattetimen vil involvere vanlige femkanter, med fem like sider. Det er to vanlige måter å beregne arealet på, avhengig av hvor mye informasjon du har.

Trinn

Metode 1 av 3: Bestem arealet ved hjelp av sidene og apotem

1. Start med lengden på siden og apotem. Denne metoden fungerer for vanlige femkanter, med fem like sider. I tillegg til lengden på siden trenger du "apothema" til femkanten. Apotemet er linjen fra midten av femkanten til en side, som skjærer siden vinkelrett (dvs. i en vinkel på 90º).

Ikke forveksle apotemet med radiusen til en polygon, fordi den skjærer en vinkel (toppunktet) i stedet for et punkt midt på siden. Hvis du bare kjenner lengden på en side og radiusen, fortsett til neste metode.
Som et eksempel bruker vi en femkant med side 3 og apotem 2.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 2

2. Del femkanten i fem trekanter. Tegn fem linjer fra midten av femkanten, som hver fører til et toppunkt (hjørne). Du har nå fem trekanter.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 3

3. Beregn arealet av en trekant. Hver trekant har en utgangspunkt lik siden av femkanten. Den har også en høyde som er lik apotem. (Husk at høyden på en trekant er lengden på siden som er vinkelrett på bunnen og strekker seg til et toppunkt). For å beregne arealet til en trekant bruker du ½ x grunnflate x høyde.

I vårt eksempel er arealet av trekanten=½ x 3 x 2=3.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 4

4. Multipliser med fem for det totale arealet av femkanten. Vi har delt femkanten i fem like trekanter. For å beregne det totale arealet, multipliser arealet til en trekant med fem.

I vårt eksempel er A(totalt av femkanten)=5 x A(trekant)=5 x 3=15.

Metode 2 av 3: Bestem arealet ved hjelp av lengden på en side

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 5

1. Start med lengden på den ene siden. Denne metoden fungerer bare for vanlige femkanter, som har fem like lange sider.

I dette eksemplet bruker vi en femkant med lengde 7 for hver side.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 6

2. Del femkanten i fem trekanter. Tegn en linje fra midten av femkanten til et toppunkt. Gjenta for hvert toppunkt. Du har nå fem trekanter, hver av samme størrelse.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 7

3. Del en trekant i to. Tegn en linje fra midten av femkanten til bunnen av en trekant. Denne linjen skal skjære basen i en rett vinkel (90º), som deler trekanten i to like, mindre trekanter.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 8

4. Merk en av de mindre trekantene. Vi kan allerede merke en side og en vinkel i den mindre trekanten:

De utgangspunkt av trekanten er ½ ganger siden av femkanten. I vårt eksempel er dette ½ x 7=3,5 enheter.

De hjørne i midten av femkanten er alltid 36º. (Forutsatt 360º for en hel sirkel, kan du dele dette inn i 10 mindre trekanter. 360 ÷ 10=36, så vinkelen til en slik trekant er 36º).

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 9

5. Regn ut høyden på trekanten. De høyde av denne trekanten er siden vinkelrett på siden av femkanten som fører til midten. Vi bruker enkel trigonometri for å bestemme lengden på denne siden:

I en rettvinklet trekant, er tangent av en vinkel lik lengden på motsatt side, delt på lengden på den tilstøtende siden.

Siden motsatt vinkelen på 36º er bunnen av trekanten (halve siden av femkanten). Den tilstøtende siden av vinkelen på 36º er høyden på trekanten.

tan(36º)=motsatt / tilstøtende

I vårt eksempel er tan(36º)=3,5 / høyde

høyde x brun(36º)=3,5

høyde=3,5 / brun (36º)

høyde=(ca) 4.8.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 10

6.Beregn arealet av trekanten. Arealet av en trekant er lik ½ base x høyde. (A=½bh.) Nå som du vet høyden, skriv inn disse verdiene for å bestemme høyden på den lille trekanten.

I vårt eksempel er arealet til en av de små trekantene=½bh=½(3.5)(4.8)=8.4.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 11

7. Multipliser for å finne arealet av femkanten. En av disse mindre trekantene dekker 1/10 av området til femkanten. For det totale arealet, multipliser arealet til den mindre trekanten med 10.

I vårt eksempel er arealet av hele femkanten=8,4 x 10=84.

Metode 3 av 3: Bruke en formel

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 12

1. Bruk omrisset og apotem. Apotemet er en linje fra midten av en femkant som skjærer den ene siden i rett vinkel. Hvis lengden er gitt, kan du bruke denne enkle formelen.

Arealet av en vanlig femkant =pappa / 2, hvor s=omkretsen og en=apotemet.
Hvis du ikke kjenner omkretsen, regner du ut den ved å bruke lengden på siden: p=5s, der s er lengden på siden.

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 13

2. Bruk lengden på siden. Hvis du bare vet lengden på sidene, bruk følgende formel:

Arealet av en vanlig femkant=(5s ) / (4tan(36º)), hvor s=lengde på en side.

brun(36º)=√(5-2√5). Hvis kalkulatoren din ikke har en "tan"-funksjon, bruk formelen for arealet: Area=(5s) / (4√(5-2√5)).

Bilde med tittelen Finn området til en vanlig Pentagon Trinn 14

3. Velg en formel som bare bruker radiusen. Du kan til og med finne området hvis du bare kjenner radiusen. Bruk følgende formel:

Arealet til en vanlig femkant=(5/2)rsin(72º), hvor r radiusen er.

Tips

Uregelmessige femkanter eller femkanter med ulik side er vanskeligere å studere. Den beste tilnærmingen er vanligvis å dele femkanten i trekanter, og legge sammen arealene til alle trekantene. Du må kanskje også tegne en større form rundt femkanten, beregne arealet og deretter trekke fra arealet av den ekstra plassen.
Hvis mulig, bruk både en geometrisk metode og en formel, og sammenlign resultatene for å sjekke svaret. Svarene kan avvike litt hvis du fyller ut formelen helt på én gang (fordi da mangler trinnene du fullfører), men de skal være veldig nær hverandre.
Eksemplene som er gitt her bruker avrundede verdier for å gjøre matematikken enklere. Hvis du har en ekte polygon med de gitte sidelengdene, vil du få litt andre resultater for de andre lengdene og arealet.
Formlene er avledet fra geometriske metoder, lik de som er beskrevet her. Prøv å finne ut hvordan du kan distrahere dem selv. Radiusformelen er vanskeligere å utlede enn de andre (hint: du trenger dobbeltvinkelidentiteten).