Hvordan beregne arealet til en likebenet trekant (med bilder)

Innhold

Trinn
- Metode 1 av 2: Bestem arealet ved å bruke lengdene på hver side
- Metode 2 av 2: Bruke trigonometri
Tips

En likebenet trekant er en trekant med to sider av samme lengde. Disse to like sidene har alltid samme vinkel til basen (den tredje siden), og møtes rett over midten av basen. Du kan teste dette selv med en linjal og to like lange blyanter: hvis du prøver å vippe trekanten i én retning, vil endene på blyantene ikke møtes. Med disse spesielle egenskapene til den likebenede trekanten kan arealet beregnes med bare noen få data.

Trinn

Metode 1 av 2: Bestem arealet ved å bruke lengdene på hver side

1. Ta arealet til et parallellogram. Firkanter og rektangler er parallellogrammer, som enhver firesidig form der to par sider er parallelle med hverandre. Alle parallellogrammer har en enkel arealformel: areal er lik base multiplisert med høyde, eller A = bh. Hvis du plasserer et tenkt parallellogram stående på en horisontal flate, er basen lengden på siden figuren er på. Høyden er avstanden fra basen til det høyeste punktet (som du forventer); dvs. avstanden fra basen til motsatt side. Mål alltid høyden i rett vinkel (90 grader) i forhold til basen.

For firkanter og rektangler er høyden lik lengden på en vertikal side, siden disse sidene er i rette vinkler på bakken.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 2

2. Sammenlign trekanter og parallellogrammer. Det er et enkelt forhold mellom disse to formene. Å kutte et parallellogram i to langs diagonalen deler det i to like trekanter. På samme måte kan du slå sammen to like trekanter for å danne et parallellogram. Dette betyr at arealet av en trekant kan skrives som A = bh, nøyaktig halvparten av størrelsen på et tilsvarende parallellogram.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 3

3. Finn bunnen av den likebenede trekanten. Nå har du formelen, men hva er "basen" og "høyden" til en likebenet trekant? Basen er den enkle delen: bare ta den tredje, ulike siden av den likebenede trekanten.

For eksempel, hvis en likebenet trekant har sider på 5 cm, 5 cm og 6 cm, så er siden på 6 cm basen.

Hvis en trekant har tre like sider (og derfor er likesidet), kan du velge hvilken som helst side som grunn. En likesidet trekant er en spesiell type likebenet trekant, men du kan finne arealet på samme måte.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 4

4. Tegn en linje mellom basen og motsatt toppunkt. Sørg for at linjen berører basen i rett vinkel. Lengden på denne linjen er høyden på trekanten og er derfor merket h. Når du får verdien av h beregnet, kan du bestemme arealet.

I en likebenet trekant berører denne linjen alltid basen i sitt eksakte senter.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 5

5. Se den ene halvdelen av den likebenede trekanten. Legg merke til at høyden deler den likebenede trekanten i to like rettvinklede trekanter. Se på en av dem og pek på de tre sidene:

En av kortsidene er lik halvparten av basen:

\frac{b}{2}

${frac{b}{2}}$ .

Den andre kortsiden er høyden h.

Hypotenusen (hypotenusen) til den rettvinklede trekanten er en av de to like sidene i den likebenede trekanten. La oss få dette s å nevne.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 6

6.Bruk Pythagoras teorem. Hvis du kjenner to sider av en rettvinklet trekant og vil finne den tredje, kan du bruke Pythagoras teorem: (side 1) + (side 2) = (hypotenus) Bytt ut variablene vi bruker i denne oppgaven og du får

(\frac{b}{2})^{2} + h^{2} = s^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .

Du har sannsynligvis lært Pythagoras teorem hvis

en 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Å skrive dette som `sider` og `hypotenuse` forhindrer deg i å forveksle disse med variablene i trekanten.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 7

7. Løs for h. Husk at du har arealformelen b og h brukt, men som du ikke vet verdien av h vet ikke ennå. Skriv om formelen h å løse:

(\frac{b}{2})^{2} + h^{2} = s^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$

h 2 = s^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

$h^{2}=s^{2}-({frac{b}{2}})^{2}$

h = \sqrt{(} s^{2} - (\frac{b}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$ .

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 8

8. Bytt ut verdiene til trekanten din med h Nå som du kjenner denne formelen, kan du bruke den for en likebenet trekant hvis sider du kjenner. Bare skriv inn lengden på basen for b og lengden på en av de like sidene for s, og regn etterpå h.

For eksempel har du en likebenet trekant med sidene 5 cm, 5 cm og 6 cm. b = 6 og s = 5.

Bruk disse verdiene i formelen din:

h = \sqrt{(} s^{2} - (\frac{b}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 5^{2} - (\frac{6}{2})^{2})

$h={sqrt(}5^{2}-({frac{6}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 3^{2})

$h={sqrt(}25-3^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 9)

$h={sqrt(}25-9)$

h = \sqrt{(} 16)

$h={sqrt(}16)$

h = 4

$h=4$ cm.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 9

9. Bruk grunn- og høydeverdiene i områdeformelen. Nå har du det du trenger for å bruke formelen fra begynnelsen av denne delen: Areal = ½bh. Bytt ut verdiene for b og h i denne formelen og beregn svaret. Ikke glem å skrive svaret i kvadratiske enheter.

For å fortsette med eksemplet: 5-5-6 trekanten har en base på 6 cm og en høyde på 4 cm.

A = bh
A = ½ (6 cm) (4 cm)
A = 12 cm.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 10

10. Prøv et vanskeligere eksempel. De fleste likebenede trekanter er vanskeligere å jobbe med enn i forrige eksempel. Høyde inneholder ofte en kvadratrot som ikke kan forenkles til et heltall. Hvis dette er tilfelle, la høyden være kvadratroten i enkleste formen å stå. Her er et eksempel:

Hva er arealet av en trekant med sidene 8 cm, 8 cm og 4 cm?

Den ujevne siden er 4 cm, og basen b.

Høyden

h = \sqrt{8} 2 - (\frac{4}{2})^{2}

$h={sqrt{8^{2}-({frac{4}{2}})^{2}}}$

= \sqrt{64 - 4}

$={sqrt{64-4}}$

= \sqrt{60}

$={sqrt{60}}$

Forenkle kvadratroten ved å faktorisere:

h = \sqrt{60} = \sqrt{4 * 15} = \sqrt{4} \sqrt{15} = 2 \sqrt{15} .

$h={sqrt{60}}={sqrt{4*15}}={sqrt{4}}{sqrt{15}}=2{sqrt{15}}$

Flate

= \frac{1}{2} b h

$={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (4) (2 \sqrt{15})

$={frac{1}{2}}(4)(2{sqrt{15}})$

= 4 \sqrt{15}

$=4{sqrt{15}}$

La dette svaret stå som nevnt, eller bruk en kalkulator for et desimalanslag (ca. 15,49 cm2).

Metode 2 av 2: Bruke trigonometri

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 11

1. Start med en side og et hjørne. Hvis du er kjent med trigonometri, kan du finne arealet av en likebenet trekant selv om ingen av lengdene på sidene er kjent. Her er et eksempelproblem der bare følgende er kjent:

Lengden s av de to like sider er 10 cm.
Vinkelen θ mellom de to like sidene er 120 grader.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 12

2. Del den likebenede trekanten i to rette trekanter. Tegn en linje ned fra toppunktet mellom de to like sidene, og skjærer basen i rett vinkel. Du har nå to like rette trekanter.

Denne linjen deler θ perfekt i to. Hver rettvinklet trekant har en vinkel på ½θ, eller i dette tilfellet (½)(120) = 60 grader.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 13

3. Bruk trigonometri for å bestemme verdien av h. Nå som du har en rettvinklet trekant, kan du bruke trigonometriske funksjoner (sinus, cosinus og tangens). I eksempeloppgaven vet du hva hypotenusen er og du vil ha verdien av h vet, siden ved siden av den kjente vinkelen. Bruk det faktum at cosinus = tilstøtende / hypotenusa til h å løse:

cos(θ/2) = h/s

cos(60º) = h / 10

h = 10cos(60º)

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 14

4. Bestem verdien av den gjenværende siden. Det er en ennå ukjent side av den rette trekanten, som du X kan navngi. Løs dette med definisjonen sinus = motsatt / hypotenusen:

sin(θ/2) = x / s

sin(60º) = x / 10

x = 10sin(60º)

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 15

5. Bruk forholdet mellom x til bunnen av den likebenede trekanten. Du kan nå `zoome ut` til den aktuelle likebenede trekanten. Basen b av den vinkelen er lik 2X, siden den var delt inn i to segmenter, hver med en lengde X.

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 16

6. Bruk verdiene h og b i arealformelen for trekanten. Nå som du kjenner basen og høyden, kan du bruke standardformelen A = ½bh:

en = \frac{1}{2} b h

$A={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (2 X) (10 c O s 60)

$={frac{1}{2}}(2x)(10cos60)$

= (10 s Jeg n 60) (10 c O s 60)

$=(10sin60)(10cos60)$

= 100 s Jeg n (60) c O s (60)

$=100sin(60)cos(60)$

Ved hjelp av en kalkulator (innstilt på grader) får du ca 43,3 cm2 som svar. Alternativt kan du bruke egenskapene til trigonometri for å forenkle dem til A = 50sin(1200).

Bilde med tittelen Finn arealet til en likebenet trekant Trinn 17

7. Omskriv dette som en universell formel. Nå som du vet hvordan du fikser dette, kan du bruke den generelle formelen uten å gå gjennom hele prosessen hver gang. Her er hva du får hvis du gjentar denne prosessen, uten å bruke spesifikke verdier (og forenkle bruk av trigonometriegenskapene):

en = \frac{1}{2} s^{2} s Jeg n θ

$A={frac{1}{2}}s^{2}sintheta$

s er lengden på en av de to like sidene.

Θ er vinkelen mellom de to like sidene.

Tips

Hvis du har å gjøre med en likebenet rettvinklet trekant (to like sider og en vinkel på 90 grader), er det mye lettere å finne området. Bruker du en av kortsidene som underlag, er den andre kortsiden høyden. Nå kan formelen A = ½ b * h forenkles til ½s, der s er lengden på en kortside.
Kvadratrøtter har to løsninger, en positiv og en negativ, men du kan ignorere den negative i geometri. For eksempel kan du ikke ha en trekant med en "negativ høyde".
Noen trigonometriske problemer gir deg annen informasjon å starte med, for eksempel lengden på basen og en vinkel (og det faktum at trekanten er likebenet). Den grunnleggende strategien forblir den samme: del den likebenede trekanten i rette trekanter og regn dem ut for høyden ved hjelp av trigonometriske funksjoner.