Beregne arealet til en firkant ved hjelp av diagonalen: 9 trinn (med bilder)

Innhold

Trinn
- Del 1 av 2: Beregning av arealet til en firkant
- Del 2 av 2: Ytterligere informasjon
Tips

Den vanligste formelen for arealet til en firkant er enkel: det er lengden på en av sidene i kvadrat, eller s. Men noen ganger vet du bare lengden på diagonalen til et kvadrat, linjen mellom to motsatte hjørner. Hvis du er kjent med rette trekanter, kan du utlede en ny formel med diagonalen som eneste variabel.

Trinn

Del 1 av 2: Beregning av arealet til en firkant

1. Tegn firkanten din. Et kvadrat har fire like sider. La oss si at hver side har en lengde på `s`.

Bilde med tittelen Finn arealet til en firkant ved å bruke lengden på dens diagonale trinn 4

2. Bruk standardformelen for arealet av en firkant. Arealet til en firkant er lik lengden ganger bredden. Fordi hver side s det blir formel Areal = s x s = s. Dette vil vise seg å være nyttig snart.

Bilde med tittelen Finn arealet til en firkant ved å bruke lengden på dens diagonale trinn 5

3. Koble to motsatte hjørner for å lage en diagonal. Målet på denne diagonalen blir d enheter. Denne diagonalen deler kvadratet i to rette trekanter.

Bilde med tittelen Finn arealet til en firkant ved å bruke lengden på dens diagonale trinn 6

4.Bruk Pythagoras teorem for en av trekantene. Pythagoras teorem er en formel for å finne hypotenusen (den lengste siden) av en rettvinklet trekant: (side A) + (side B) = (hypotenusen) eller

en 2 + b^{2} = c^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Nå som kvadratet er delt i to, kan du bruke denne formelen på en av de rette trekantene:

De to kortere sidene av trekanten er sidene av kvadratet: hver har en lengde s.

Hypotenusen er diagonalen til kvadratet, d.

s 2 + s^{2} = d^{2}

$s^{2}+s^{2}=d^{2}$

Bilde med tittelen Finn arealet til en firkant ved å bruke lengden på dens diagonale trinn 7

5. Ordne ligningen slik at s er på den ene siden. Husk at vi vet at arealet av torget er s. Hvis du kan isolere s på den ene siden, har du en ny ligning for området:

s 2 + s^{2} = d^{2}

$s^{2}+s^{2}=d^{2}$

Forenkle:

2 s 2 = d^{2}

$2s^{2}=d^{2}$

Del begge sider med to:

s 2 = d 22

$s^{2}={frac{d^{2}}{2}}$

Område =

s 2 = d 22

$s^{2}={frac{d^{2}}{2}}$

Område =

d 22

${frac{d^{2}}{2}}$

Bilde med tittelen Finn arealet til en firkant ved å bruke lengden på dens diagonale trinn 9

6. Bruk denne formelen med et eksempel kvadrat. Disse trinnene har bevist at formelen Area =

d 22

${frac{d^{2}}{2}}$ gjelder alle ruter. Angi lengden på diagonalen for d og løse.

Anta for eksempel at en firkant har en diagonal på 10 cm.

Område =

1022

${frac{10^{2}}{2}}$
=

\frac{100}{2}

${frac{100}{2}}$
= 50 cm.

Del 2 av 2: Ytterligere informasjon

1. Finn diagonalen til lengden på en side. Pythagoras teorem for et kvadrat med side s og diagonal d gi deg formelen

2 s 2 = d^{2}

$2s^{2}=d^{2}$ på. Løs for `d` hvis du kjenner lengden på sidene og vil bestemme lengden på diagonalen:

$2 s 2 = d^{2}$ $2s^{2}=d^{2}$
$\sqrt{2 s} 2 = \sqrt{d} 2$ ${sqrt{2s^{2}}}={sqrt{d^{2}}}$
$s \sqrt{2} = d$ $s{sqrt{2}}=d$
For eksempel, hvis en firkant har sider på 7 cm, er diagonalen d = 7√2 cm, eller omtrent 9,9 cm.
Hvis du ikke har en kalkulator, kan du bruke 1,4 som et estimat på √2.

2. Bestem lengden på en side ved hjelp av diagonalen. Er diagonalen gitt og du vet at diagonalen til en firkant

s \sqrt{2}

$s{sqrt{2}}$ så kan du dele begge sider med

\sqrt{2}

${sqrt{2}}$ til

s = \frac{d}{\sqrt{2}}

$s={frac{d}{{sqrt{2}}}}$ å få.

For eksempel har en firkant med en diagonal på 10 cm sider av lengde

\frac{10}{\sqrt{2}} = 7, 071

${frac{10}{{sqrt{2}}}}=7071$ cm.

Hvis du vil finne både lengden på en side og arealet av diagonalen, kan du først bruke denne formelen og deretter kvadrere svaret for arealet: Areal

= s 2 = 7, 071^{2} = 50

$=s^{2}=7071^{2}=50$ cm. Dette er noe mindre nøyaktig, pga

\sqrt{2}

${sqrt{2}}$ er et irrasjonelt tall som kan ha avrundingsfeil.

3. Tolk overflateformelen. Formelen Area =

d 22

${frac{d^{2}}{2}}$ ser ut til å være matematisk riktig, men er det en måte å teste dette direkte på? Vi vil,

d 2

$d^{2}$ er arealet av et andre kvadrat med diagonalen som side. Fordi hele formelen

d 22

${frac{d^{2}}{2}}$ du kan begrunne at dette andre kvadratet har nøyaktig dobbelt så stort areal som det opprinnelige kvadratet. Du kan teste dette selv:

Tegn en firkant på papir. Pass på at alle sider er like.

Mål diagonalen. Tegn en andre firkant med den lengden som sidene av firkanten.

Spor en kopi av den første ruten din slik at du har to. Klipp ut alle tre rutene.

Skjær de to mindre firkantene i former som passer inni den store firkanten. De må fylle plassen perfekt for å vise at arealet til den store firkanten er nøyaktig det dobbelte av arealet til den mindre firkanten.

Tips

Denne enkle ligningen brukes på mange felt, inkludert krystallografi, kjemi og kunst. Du kan for eksempel bruke den til å beregne arealet av et landskap du ser mens du kartlegger, eller når du bruker perspektiv i fotografering eller maleri, ved å måle avstanden du har gått og forestille deg et rutenett med den avstanden som diagonalen.
Hvis du ønsker å ta en mer visuell tilnærming til matematikk, eller lære å bruke grafer og diagrammer i kunst, eller utforske spiralbanen til en partikkel, sjekk ut noen artikler om Microsoft Excel, matematikk, regneark og grafikk.
Hvis du ikke har en kalkulator, men trenger et mer nøyaktig estimat av kvadratroten av to, finnes det måter å å gjøre dette for hånd. Et eksempel på dette er Newton-Raphson-metoden.