Faktoriser

Innhold

Trinn
Tips
Advarsler
Nødvendigheter

I algebra er en andregradsligning et polynom som består av 3 ledd, av formen ax + bx + c. Polynomer har mange bruksområder i matematikk og naturfag, og å løse andregradsligninger er en viktig ferdighet. Mens de fleste andregradsligninger ganske enkelt kan faktoriseres, er det flere tilfeller der en kvadratisk ligning må faktoriseres på en spesiell måte.Hvis ingen av metodene i den følgende veiledningen er nyttige, kan det være nødvendig å bruke metoder for å faktorisere høyere polynomer.

Trinn

Metode 1 av 4: Divisjon to

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 2

1. Ordne argumentene til kvadratisk ligning fra størst til minste. Et argument er én variabel i polynomet; den normale rekkefølgen for å plassere begrepene er fra høyeste potens til laveste. Så 5 + x + 6x må bestilles som x + 6x + 5.

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 1

2. Ekskluder hver faktor som forekommer i alle tre ledd. Hvis konstantene til kvadratisk ligning alle er multipler av samme tall, kan du sette dem utenfor parentes, eller hvis hver komponent i kvadratisk ligning har en lik variabel, kan den variabelen plasseres utenfor parentes.

For eksempel, i den andregradsligningen -8a + 24a + 144, er hver konstant et multiplum av 8, så 8 kan plasseres utenfor parentes, noe som gir -8(a - 3a - 18). Selv om koeffisienten -3 og konstanten -18 begge er delbare med -3, er ikke koeffisienten 1 til det første leddet det, så vi kan ikke faktorisere ytterligere.

I andregradsligningen - x - 2x - 1 er hvert ledd delelig med -1, som etter faktorisering kan skrives som (-1)(x + 2x + 1).

3. Se etter mønstre som gjør det lettere å løse en andregradsligning. For mer og mer detaljert informasjon og eksempler, se metoden for å løse spesielle tilfeller av en kvadratisk ligning.

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 3

4. Hvis det i det hele tatt er mulig, prøv å dele den andregradsligningen i 2 to ledd på formen (mx + n)(qx + r). Dette er ofte bare å prøve det som fungerer, men det finnes triks som gjør dette lettere. La oss først anta at det første leddet i andregradsligningen (x-leddet) er lik 1 (leddet ligner mer på x enn f.eks., 3x). m- og q-verdiene til de to leddene er 1, så løsningen din vil se ut som (x + b)(x + d). Finn deretter for ligningen din på formen ax + bx + c, verdiene n og r slik at: n * r = c og n + r = b.

I eksemplet er x + 6x + 5, 5 * 1 = 5 og 5 + 1 = 6. Så løsningen er (x + 1)(x + 5).

Hvis ikke alle ledd i den kvadratiske ligningen er positive, ikke glem å vurdere de negative tallene. For eksempel, x - 3x - 18 faktor inn i (x - 6)(x + 3) fordi -6 + 3 = -3 og -6 * 3 = -18.

5. Hvis konstanten i det første leddet ikke er lik 1 (f.eks. hvis det ser mer ut som 3x enn x), blir factoring litt vanskeligere, og via ax + bx + c får du endelig en løsning på formen (mx + n)(qx + r). For en riktig løsning, m * q = a, m * r + n * q = b, og n * r = c.

Start med å lage en liste over alle mulige faktorer av a og c. Sjekk deretter hvilket par av faktorer som fungerer, ved å bruke begrensningene som angitt ovenfor.

Ta for eksempel 3x + 10x + 8. Mulige faktorpar på 3 er 1 * 3. Mulige faktorpar på 8 er 1 * 8 og 2 * 4. Siden 3 * 1 = 3 (leddet til andregradsligningen), 1 * 4 + 2 * 3= 10 (b-leddet), og 2 * 4 = 8 (c-leddet), er løsningen (3x + 4) ( x + 2).

Metode 2 av 4: Factoring Special Cases

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 4

1. Sjekk om konstanten i det første leddet eller det tredje leddet i ligningen er primtall. Et primtall er bare delelig med seg selv og 1. Dette reduserer antallet mulige binomiale faktorer. I forrige eksempel: x + 6x + 5 er det bare 1 mulig sett med binomiale faktorer, (x + 5)(x + 1), fordi 5 er primtall.

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 5

2. Sjekk om den andregradsligningen er et perfekt kvadrat. Dette krever at verdiene til koeffisientene a og c til ligningen ax + bx + c er perfekte kvadrater (og positive!), og at verdien av b er dobbel verdien av produktet av kvadratroten av a og c.

(x + a) blir x + 2ax + a. For eksempel, (x + 3) = x + 6x + 9, og (3x + 2) = 9x + 12x + 4.

På samme måte blir (x - a) x - 2ax + a. For eksempel, (x - 3) = x - 6x + 9.

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 6

3. For noen andregradsligninger på formen x - n:

(x + a)(x - a) blir x - a. Så x - 9 kan raskt faktoriseres inn i (x + 3)(x - 3), og 4x - 4 = (2x + 2)(2x - 2).

Metode 3 av 4: Bruke abc-formelen

For andregradsligninger på formen ax + bx + c som er vanskelige eller umulige å løse, bruk abc-formelen.

1. Lær å bruke abc-formelen.

2. Skriv inn a, b og c og løs den første delen av formelen. Anta at vi har den andregradsligningen x + 5x + 6.

Start med b - 4ac, som er 5 - 4(1)(6) = 1. Kvadratroten av 1 er 1.

Avslutt med å løse ligningen. -b + 1 = -5 + 1 = -4. Del dette med 2a (2 * 1 = 2) for å få -2 som svar.

3. Løs den andre delen. Vi vet allerede at kvadratroten av b - 4ac = 1. -b - 1 = -6. Del dette med 2a (2) for å få -3.

4. Sjekk løsningene dine ved å fylle dem ut for x. Noen ganger er ett eller flere av svarene ikke gyldige løsninger (for eksempel hvis de er imaginære tall). Men hvis en andregradsligning har en løsning, vil ligningen finne den.

Merk at hvis vi hadde faktorisert denne ligningen, i stedet for å bruke abc-formelen, ville vi hatt som svar (x + 2)(x + 3). Setter du denne ligningen lik 0, får du to løsninger, x = 2 og x = -3, som vi også fant med formelen.

Metode 4 av 4: Det skjulte kvadratet i et polynom

Noen andregradsligninger er av høyere orden, men i hovedsak bare kvadratiske. Når du er anerkjent som sådan, kan du behandle dem som sådan ved å bruke substitusjon.

1. Se på variablene i hvert ledd.For eksempel ser x - 7x + 12 ut til å være en potens av 6, men etter substitusjon av u=x blir dette u - 7u + 12. Dette etterlater deg med en ligning som er mye lettere å løse.

Mer komplekse erstatninger kan bidra til å løse vanskeligere problemer. For eksempel er xy - 7xy + 12y forenklet til xy(u - 7u + 12) og etter substitusjon u = x/y. En slik substitusjon er mulig når summen av potensene til de to leddene er to ganger potensen til den gjenværende leddet.

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 7

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 8

2. Hvis en slik substitusjon kan finne sted, så faktor ut det enkle polynomet, i dette tilfellet, u - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

Bilde med tittelen Factor Trinomials Step 9

3. Angre erstatningen og bruk x på løsningen. Så erstatt u med x , x - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4). Hvis det er mulig eller ønskelig, kan hver faktor forenkles enda mer.

Tips

Bruk Eisensteins kriterium for raskt å finne ut om et polynom er ikke-reduserbart og ikke-faktorerbart. Dette kriteriet gjelder for ethvert polynom, men spesielt for en kvadratisk ligning. Hvis det er et primtall p som gjør de to siste ledd delbare og tilfredsstiller følgende betingelser, kan ikke polynomet reduseres:

Konstantleddet (c-en i en andregradsligning av formen ax + bx + c) er et flertall av p, men ikke av p.
Det første leddet (her, a) er ikke et flertall av p.
For eksempel er 14x + 45x + 51 irreduserbar fordi den har et primtall (3) som gjør både 45 og 51 delbare, men ikke 14 og 51, som ikke er delbare med 3.

Du kan faktorisere polynomer av flere variabler ved å bruke metodene ovenfor hvis de er kvadratiske ligninger forutsatt en variabel. Ta for eksempel 4xy - 5x + 15y. Dette kan skrives om som (4x)y + 15y - 5x. Merk at dette passer til formen ax + bx + c, der a = 4x og c = 5x. Denne ligningen kan deretter løses med abc-formelen.

Du kan øve på faktorisering av andregradsligninger ved å gjøre oppgaver i en bok som omhandler algebra.

Advarsler

Selv om det er sant for kvadrater, er ikke andregradsligninger som kan faktoriseres nødvendigvis produktet av to binærer. Et moteksempel er x + 105x + 46 = (x + 5x + 2)(x - 5x + 23).