Factoring Equations

Innhold

Trinn
Tips
Nødvendigheter

I matematikk er det det faktorisere bestemme tall eller uttrykk som, når de multipliseres sammen, gir en bestemt verdi eller ligning. Factoring er en nyttig ferdighet å lære når man løser enkle matematiske problemer; evnen til å faktorisere riktig blir nesten essensiell når man arbeider med kvadratiske ligninger og andre polynomer. Factoring kan brukes til å forenkle enkle matematiske ligninger for å gjøre det enklere å løse dem. Factoring kan tillate deg å utelukke mulige svar selv mye raskere enn om du måtte sjekke hvert enkelt av dem.

Trinn

Metode 1 av 3: Faktorisering av tall og enkle ligninger

1. Forstå definisjonen av faktorisering i tall. Factoring er i prinsippet enkelt, men i praksis kan det være ganske utfordrende når man skal løse komplekse ligninger. Derfor er den enkleste tilnærmingen å starte med små tall og deretter enkle ligninger før du går videre til mer avanserte applikasjoner. De faktorer av et gitt tall er tallene som, multiplisert sammen, gir det enkelte tallet. For eksempel er faktorene til 12 1, 12, 2, 6, 3 og 4, fordi 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4 alle har 12 som produkt.

En annen måte å tenke på dette er at faktorene til et gitt tall er de tallene som gjør tallet inn kan deles i sin helhet.
Kan du finne alle faktorene til 60? Vi bruker tallet 60 for ulike applikasjoner (antall minutter i en time, sekunder i et minutt, etc.) fordi det er delelig med et stort sett med tall.

Faktorene på 60 er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60.

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 2

2. Forstå at ligninger også kan faktoriseres. Akkurat som tall, kan variabler med koeffisienter også faktoriseres. Dette gjør du ved å finne faktorene til koeffisienten til variabelen. Å vite hvordan man faktoriserer variabler er nyttig for å forenkle ligninger variablene er en del av.

For eksempel kan variabelen 12y skrives om som produktet av faktorene 12 og y. Vi kan skrive 12y som 3(4y), 2(6y), etc., ved å bruke faktorene på 12 som er mest praktisk.

Vi kan til og med gå så langt som 12 år flere ganger løse opp. Med andre ord, vi trenger ikke å stoppe ved 3(4y) eller 2(6y) - vi kan faktorisere 4y og 6y til henholdsvis 3(2(2y) og 2(3(2y)). Tilsynelatende er disse to uttrykkene likeverdige med hverandre.

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 3

3. Bruk den distributive egenskapen til multiplikasjon på faktorisering av matematiske ligninger. Ved å bruke kunnskapen din om hvordan du faktoriserer både vanlige tall og variabler med koeffisienter, kan du også forenkle matematiske ligninger ved å bestemme faktorene som er felles for tall og variabler i en matematisk ligning. Vanligvis vil vi forenkle ligningen så langt som mulig, ved å se etter den største felles divisor (gcd). Denne forenklingsprosessen er mulig på grunn av den distributive egenskapen til multiplikasjon, som sier at for et hvilket som helst tall a, b og c, a(b + c) = ab + ac.

La oss prøve et eksempelproblem. For å faktorisere ligningen 12x + 6, ser vi først etter gcd av 12x og 6. 6 er det største tallet som deler både 12x og 6, så vi kan forenkle ligningen til 6(2x + 1).

Denne prosessen gjelder også for ligninger som involverer negative tall og brøker. x/2 + 4, for eksempel, kan forenkles til 1/2(x + 8) og -7x + -21 kan faktoriseres til -7(x + 3).

Metode 2 av 3: Faktorisering av andregradsligninger

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 4

1. Pass på at ligningen er i kvadratisk form (ax + bx + c = 0). andregradsligninger har formen ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er numeriske konstanter og a ikke er lik 0 (merk at a er lik kan er på 1 eller -1). Hvis du har å gjøre med en likning med én variabel (x) og ett eller flere ledd av x i annen, kan du vanligvis bytte begrepene i ligningen ved å bruke en standard matematisk operasjon for å få 0 på den ene siden av ligningen. skilt og øks osv. på den andre siden.

For eksempel har du følgende matematiske ligning: 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 som kan forenkles til x + 6x + 9 = 0, i kvadratisk form.
Ligninger med større potenser av x, som x, x osv. er ikke andregradsligninger. Dette er kubiske ligninger eller høyere, med mindre ligningen kan forenkles slik at leddene med høyere potens av x(enn kvadrater) elimineres.

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 5

2. I andregradsligninger der a = 1, faktoriserer du inn i (x+d )(x+e), der d × e = c og d + e = b. Hvis andregradsligningen din har formen x + bx + c = 0 (med andre ord, hvis koeffisienten til x = 1), så er det mulig (men ikke sikkert) at en relativt enkel snarvei kan brukes til å faktorisere ligningen. Finn to tall som begge har c som produkt og legg dem sammen for å få b som en sum. Hvis du har disse to tallene d og e, sett dem i følgende uttrykk: (x+d)(x+e). Disse to leddene, når de multipliseres, gir deg den andregradsligningen - med andre ord, de er faktorene i din andregradsligning.

Ta for eksempel den andregradsligningen x + 5x + 6 = 0. Siden 3 x 2 = 6 og 3 + 2 = 5, blir den forenklede ligningen (x + 3)(x + 2).

Små variasjoner på denne enkle hurtigløsningen kan bli funnet i selve ligningen:

Hvis den andregradsligningen har formen x-bx+c, vil svaret ditt se slik ut: (x - _)(x - _).

Hvis du har formen x+bx+c, vil svaret ditt se slik ut: (x + _)(x + _).

Hvis du har formen x-bx-c, vil svaret ditt se slik ut: (x + _)(x - _).

Merk: Blankene kan være brøker eller desimaler. For eksempel, ligningen x + (21/2)x + 5 = 0 faktorer inn i (x + 10)(x + 1/2).

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 6

3. Hvis mulig kan du også løse opp faktorene ved å bare se nøye. Tro det eller ei, du kan løse enkle andregradsligninger bare ved å se nøye på oppgaven, og så veie de mulige svarene til du finner den rette. Med andre ord, dekomponer i faktorer ved å prøve ut. Hvis ligningen har formen ax+bx+c og a>1, vil leddene ha formen (dx +/- _)(ex +/- _), der d og e er konstanter, større enn null, som multiplisert med a som produkt. Både d og e (eller begge) kan lik 1, men dette er ikke alltid slik. Hvis begge er 1, har du i hovedsak brukt den raske metoden beskrevet ovenfor.

La oss utarbeide en eksempeloppgave. 3x - 8x + 4 virker litt skremmende i begynnelsen. Men hvis vi innser at 3 bare har to faktorer (3 og 1), så blir det mye lettere, fordi vi vet at svaret vårt må ha formen (3x +/- _)(x +/- _). I dette tilfellet vil det å skrive inn -2 i de tomme feltene gi riktig svar. -2 × 3x = -6x og -2 × x = -2x. -6x + -2x = -8x. -2 × -2 = 4, så vi ser at leddene i parentes multiplisert sammen, har den opprinnelige ligningen som produktet.

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 7

4. Løs dette ved å kvadrere. I noen tilfeller kan kvadratiske ligninger faktoriseres raskt og enkelt ved å bruke en spesiell matematisk egenskap. Enhver andregradsligning av formen x + 2xh + h = (x + h). Så hvis verdien for b i ligningen din er det dobbelte av kvadratroten av c, kan ligningen din faktoriseres inn i (x + (sqrt(c))).

For eksempel tilfredsstiller likningen x + 6x + 9 denne formen. 3 er 9 og 3 × 2 er 6. Så vi vet at faktorene i denne ligningen er lik (x + 3)(x + 3) eller (x + 3).

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 8

5. Bruk faktorer for å løse andregradsligninger. Uansett hvordan du faktoriserer en kvadratisk ligning; når den er tatt med, kan du finne mulige svar for verdien for x ved å sette hver faktor lik null og løse for den. Siden du leter etter verdier for x der ligningen din er null, vil en verdi for x som gjør en av faktorene lik null være det mulige svaret på kvadratisk ligning.

La oss gå tilbake til ligningen x + 5x + 6 = 0. Den løste ligningen er (x + 3)(x + 2) = 0. Hvis en av disse faktorene er lik 0, er hele ligningen 0, så de mulige svarene for x er tallene der (x + 3) og (x + 2) er lik 0. Disse tallene er henholdsvis -3 og -2.

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 9

6. Sjekk svarene dine – noen av dem kan være feil! Når du har funnet de mulige svarene for x, bruk dem tilbake til den opprinnelige ligningen din for å se om de er gyldige. Noen ganger vil svarene du finner være den opprinnelige ligningen ikke gjør lik null når du bruker dem. Disse svarene er stemmer ikke og vi ignorerer dem.

Vi bruker -2 og -3 til x + 5x + 6 = 0. Først ut: -2:

(-2) + 5(-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Dette er riktig, så -2 er et gyldig svar.

Nå prøver vi -3:

(-3) + 5(-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Dette er også riktig, så -3 er også et gyldig svar.

Metode 3 av 3: Factoring andre former for ligninger

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 10

1. Hvis ligningen har formen a-b, er de faktoriserte leddene (a+b)(a-b). Ligninger av to variabler løses annerledes enn kvadratiske ligninger. For enhver ligning a-b der a og b ikke er lik 0, er faktorene i ligningen (a+b)(a-b).

For eksempel ligningen 9x - 4y = (3x + 2y)(3x - 2y).

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 11

2. Hvis ligningen har formen a+2ab+b, dekomponer den til (a+b). Merk: for a trinomialet av formen a-2ab+b, den oppløste formen er litt annerledes: (a-b).

Ligningen 4x + 8xy + 4y kan skrives om til 4x + (2 × 2 × 2)xy + 4y. Nå blir det klart at den er i riktig form, slik at vi med en viss sikkerhet kan fastslå at ligningen vår kan faktoriseres inn i (2x + 2y).

Bilde med tittelen Factor Algebraic Equations Step 12

3. Hvis ligningen har formen a-b, dekomponerer du den til (a-b)(a+ab+b). Til slutt bør det nevnes at kubiske ligninger og høyere polynomer også kan faktoriseres, selv om denne prosessen raskt blir ubrukelig komplisert.

For eksempel: 8x - 27y kan innregnes i (2x - 3y)(4x + ((2x)(3y)) + 9y).

Tips

a-b kan faktoriseres, men a+b kan ikke.
Lær hvordan du faktoriserer konstanter – dette kan hjelpe.
Se opp for brøker under faktorisering og regn dem ut riktig og nøye.
Hvis du har et trinomium av formen x+bx+ (b/2), så er den faktoriserte formen (x+(b/2)) (du kan støte på dette med en kvadratisk formel).
Husk at a x 0 = 0.