Løse trigonometriske ligninger: 8 trinn (med bilder)

En trigonometrisk ligning er en ligning med en eller flere trigonometriske funksjoner av den variable trigonometriske kurven x. Å løse for x betyr å finne verdiene til de trigonometriske kurvene hvis trigonometriske funksjoner gjør den trigonometriske ligningen sann.

Svar eller verdier av løsningskurvene er uttrykt i grader eller radianer. Eksempler:

x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45 grader; x = 37,12 grader ; x = 178,37 grader

Merk: På enhetssirkelen er de trigonometriske funksjonene til enhver kurve lik de trigonometriske funksjonene til den tilsvarende vinkelen. Enhetssirkelen definerer alle trigonometriske funksjoner til variabelkurven x. Det brukes også som bevis når man løser grunnleggende trigonometriske ligninger og ulikheter.
Eksempler på trigonometriske ligninger:

sin x + sin 2x = 1/2; tan x + barneseng x = 1.732;
cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1 .

Enhetssirkelen.
Dette er en sirkel med Radius = 1, hvor O er origo. Enhetssirkelen definerer 4 trigonometriske hovedfunksjoner til den variable kurven x, som sirkler mot klokken rundt den.
Når kurven med verdi x varierer på enhetssirkelen, gjelder:
Den horisontale aksen OAx definerer den trigonometriske funksjonen f(x) = cos x.
Den vertikale aksen OBy definerer den trigonometriske funksjonen f(x) = sin x.
Den vertikale aksen AT definerer den trigonometriske funksjonen f(x) = tan x.
Den horisontale aksen BU definerer den trigonometriske funksjonen f(x) = cot x.

Enhetssirkelen brukes også til å løse grunnleggende trigonometriske ligninger og standard trigonometriske ulikheter, ved å vurdere de ulike posisjonene til kurven x på sirkelen.

Trinn

1. Forstå løsningsmetoden.

For å løse en trigonometrisk ligning, konverter den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse trigonometriske ligninger resulterer til slutt i å løse 4 grunnleggende trigonometriske ligninger.

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger trinn 2

2. Vet hvordan du løser grunnleggende trigonometriske ligninger.

Det er 4 grunnleggende trigonometriske ligninger:

sin x = a; cos x = a

tan x = a; barneseng x = a

Å løse de grunnleggende trigonometriske ligningene gjøres ved å studere de ulike posisjonene til kurven x på den trigonometriske sirkelen og ved å bruke en trigonometrisk konverteringstabell (eller kalkulator). For å fullt ut forstå hvordan du løser disse og lignende grunnleggende trigonometriske ligninger, les følgende bok:"Trigonometri: Løse trigonometriske ligninger og ulikheter" (Amazon Ebook 2010).

Eksempel 1. Løs for sin x = 0,866. Konverteringstabellen (eller kalkulatoren) gir svaret: x = Pi/3. Den trigonometriske sirkelen gir en annen kurve (2Pi/3) med samme verdi for sinus (0,866). Den trigonometriske sirkelen gir også en uendelighet av svar som kalles utvidede svar.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi, og x2 = 2Pi/3.(Svar innen en periode (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi, og x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.(Detaljerte svar).

Eksempel 2. Løs: cos x = -1/2. Kalkulatorer gir x = 2 Pi/3. Den trigonometriske sirkelen gir også x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, og x2 = - 2Pi/3.(Svar for punktum (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, og x2 = -2Pi/3 + 2k.pi.(Detaljerte svar)

Eksempel 3. Løs: tan (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4 ;(Svar)

x = Pi/4 + k Pi;(Utvidet svar)

Eksempel 4. Løs: barneseng 2x = 1.732. Kalkulatorer og den trigonometriske sirkelen gir:

x = Pi/12 ;(Svar)

x = Pi/12 + k Pi ;(Detaljerte svar)

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger Trinn 3

3. Lær transformasjonene som brukes til å løse trigonometriske ligninger.

For å konvertere en gitt trigonometrisk ligning til standard trigonometriske ligninger, bruk standard algebraiske konverteringer (faktoriser, felles faktor, polynomer...), definisjoner og egenskaper ved trigonometriske funksjoner og trigonometriske identiteter. Det er omtrent 31, hvorav 14 er trigonometriske identiteter, fra 19 til 31, også kalt detransformeringsidentiteter, fordi de brukes i konvertering av trigonometriske ligninger. Se boken ovenfor.

Eksempel 5: Den trigonometriske ligningen: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan konverteres til et produkt av grunnleggende trigonometriske ligninger ved å bruke trigonometriske identiteter: 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. De grunnleggende trigonometriske ligningene som skal løses er: cos x = 0 ; sin(3x/2) = 0 ; og cos(x/2) = 0.

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger Trinn 4

4. Finn kurvene hvis trigonometriske funksjoner er kjent.

Før du kan lære hvordan du løser trigonometriske ligninger, må du vite hvordan du raskt finner kurvene hvis trigonometriske funksjoner er kjent. Konverteringsverdier av kurver (eller vinkler) kan bestemmes med trigonometriske tabeller eller kalkulatoren.

Eksempel: Løs for cos x = 0.732. Kalkulatoren gir løsningen x = 42,95 grader. Enhetssirkelen gir andre kurver med samme verdi for cosinus.

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger Trinn 5

5. Tegn buen til svaret på enhetssirkelen.

Du kan lage en graf for å illustrere løsningen til enhetssirkelen. Endepunktene til disse kurvene består av vanlige polygoner på den trigonometriske sirkelen. Noen eksempler:

Endepunktene til kurven x = Pi/3 + k.Pi/2 er en firkant på enhetssirkelen.

Kurvene til x = Pi/4 + k.Pi/3 er representert av koordinatene til en sekskant på enhetssirkelen.

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger Trinn 6

6. Lær hvordan du løser trigonometriske ligninger.

Hvis den gitte trigonometriske ligningen bare inneholder én trigonometrisk funksjon, løs den som en standard trigonometrisk ligning. Hvis den gitte ligningen inneholder to eller flere trigonometriske funksjoner, er det 2 løsningsmetoder avhengig av alternativene for å konvertere ligningen.

en.Metode 1.

Konverter den trigonometriske ligningen til et produkt av formen: f(x).g(x) = 0 eller f(x).g(x).h(x) = 0, hvor f(x), g(x) og h(x) er grunnleggende trigonometriske ligninger.

Eksempel 6. Løs: 2cos x + sin 2x = 0.(0 < X < 2Pi)

Løsning. Erstatt sin 2x i ligningen ved å bruke identiteten: sin 2x = 2*sin x*cos x.

cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*( sin x + 1)= 0. Løs deretter 2 standard trigonometriske funksjoner: cos x = 0, og (sin x + 1) = 0.

Eksempel 7. Løs: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < X < 2Pi)

Løsning: Konverter dette til et produkt ved å bruke de trigonometriske identitetene: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Løs nå de 2 grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0, og (2cos x + 1) = 0.

Eksempel 8. Løs: sin x - sin 3x = cos 2x.(0 < X < 2Pi)

Løsning: Konverter dette til et produkt ved å bruke de trigonometriske identitetene: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Løs nå de 2 grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0, og (2sin x + 1) = 0.

B.Tilnærming 2.

Konverter den trigonometriske ligningen til en trigonometrisk ligning med bare én unik trigonometrisk funksjon som variabel. Det er noen tips om hvordan du velger en passende variabel. Vanlige variabler er: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t og tan (x/2) = t.

Eksempel 9. Løs: 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7(0 < X < 2Pi).

Løsning. I ligningen, erstatt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x), og forenkle ligningen:

3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Bruk nå sin x = t. Ligningen blir: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dette er en andregradsligning med 2 røtter: t1 = -1 og t2 = 9/5. Vi kan avvise den andre t2 fordi > 1. Løs nå for: t = sin = -1 --> x = 3Pi/2.

Eksempel 10. Løs: tan x + 2 tan^2 x = barneseng x + 2.

Løsning. Bruk tan x = t. Konverter den gitte ligningen til en ligning med t som variabel: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Løs for t fra dette produktet, og løs deretter den standard trigonometriske ligningen tan x = t for x.

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger Trinn 7

7. Løs spesielle trigonometriske ligninger.

Det er noen få spesielle trigonometriske ligninger som krever noen spesifikke konverteringer. Eksempler:

a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c ;

a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

Bilde med tittelen Løs trigonometriske ligninger trinn 8

8. Lær de periodiske egenskapene til trigonometriske funksjoner.

Alle trigonometriske funksjoner er periodiske, noe som betyr at de går tilbake til samme verdi etter en rotasjon over en periode. Eksempler:

Funksjonen f(x) = sin x har 2Pi som punktum.

Funksjonen f(x) = tan x har Pi som punktum.

Funksjonen f(x) = sin 2x har Pi som punktum.

Funksjonen f(x) = cos (x/2) har 4Pi som punktum.

Dersom perioden er spesifisert i øvelsene/testen, trenger du kun å finne kurven(e) x innenfor denne perioden.

FORSIKTIG: Å løse trigonometriske ligninger er vanskelig og fører ofte til feil og feil. Derfor bør svar sjekkes nøye. Etter å ha løst kan du sjekke svarene ved hjelp av en grafisk kalkulator, for en direkte representasjon av den gitte trigonometriske ligningen R(x) = 0. Svarene (som kvadratrot) er gitt i desimaler. Som et eksempel har Pi en verdi på 3,14