Finne deriverten av kvadratroten til x

Innhold

Trinn

Hvis du tok matematikk på skolen, må du ha lært potensregelen for å bestemme den deriverte av enkle funksjoner. Men når funksjonen inneholder en kvadratrot eller radikal, som f.eks $\sqrt{X}$ ${sqrt{x}}$ , da virker maktregelen vanskelig å anvende. Ved å bruke en enkel substitusjon av eksponenter blir det veldig enkelt å bestemme den deriverte av en slik funksjon. Du kan deretter bruke den samme substitusjonen og bruke kjederegelen for å finne den deriverte av mange andre funksjoner med røtter.

Trinn

Metode 1 av 3: Bruk av maktregelen

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 1

1. Ta en ny titt på maktregelen for derivater. Den første regelen du sannsynligvis har lært for å finne derivater er maktregelen. Denne regelen sier det for en variabel

X

$X$ i kraften av et tall

en

$en$ , er den deriverte, og beregnes som følger:

$f (X) = X en$ ${displaystyle f(x)=x^{a}}$
$f kjønn (X) = en X^{en - 1}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=ax^{a-1}}$
Ta en titt på følgende eksempelfunksjoner og deres derivater:

hvis $f (X) = X 2$ ${displaystyle f(x)=x^{2}}$ , deretter $f kjønn (X) = 2 X$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2x}$
hvis $f (X) = 3 X 2$ ${displaystyle f(x)=3x^{2}}$ , deretter $f kjønn (X) = 2 * 3 X = 6 X$ ${displaystyle f^{prime }(x)=2*3x=6x}$
hvis $f (X) = X 3$ ${displaystyle f(x)=x^{3}}$ , deretter $f kjønn (X) = 3 X^{2}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=3x^{2}}$
hvis $f (X) = \frac{1}{2} X^{4}$ ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{4}}$ , deretter $f kjønn (X) = 4 * \frac{1}{2} X^{3} = 2 X^{3}$ ${displaystyle f^{prime }(x)=4*{frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 2

2. Omskriv kvadratroten som eksponent. For å finne den deriverte av en kvadratrotfunksjon, husk at kvadratroten av et tall eller en variabel også kan skrives som en eksponent. Begrepet under radikalen er skrevet som en base, og heves til makten 1/2. Begrepet brukes også som en eksponent for kvadratroten. Se gjennom følgende eksempler:

\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {4}}=4^{frac {1}{2}}}$

\sqrt{3 X} = (3 X)^{\frac{1}{2}}

${displaystyle {sqrt {3x}}=(3x)^{frac {1}{2}}}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 3

3. Bruk maktens regel. Hvis funksjonen er den enkleste kvadratroten,

f (X) = \sqrt{X}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}}}$ , bruk deretter potensregelen som følger for å finne den deriverte:

f (X) = \sqrt{X}

${displaystyle f(x)={sqrt {x}} }$ (Skriv ned den opprinnelige funksjonen.)

f (X) = X (\frac{1}{2})

${displaystyle f(x)=x^{({frac {1}{2}})} }$ (Skriv om roten som en eksponent.)

f kjønn (X) = \frac{1}{2} X^{(\frac{1}{2} - 1)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{({frac {1}{2}}-1)} }$ (Finn den deriverte ved å bruke potensregelen.)

f kjønn (X) = \frac{1}{2} X^{(- \frac{1}{2})}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{(-{frac {1}{2}})} }$ (Forenkle eksponenten.)

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 4

4. Forenkle resultatet. På dette stadiet bør du vite at en negativ eksponent betyr at du tar det motsatte av det som vil være tallet med den positive eksponenten. Eksponenten for

- \frac{1}{2}

${displaystyle -{frac {1}{2}}}$ betyr at kvadratroten av grunnflaten blir nevneren til en brøk.

Fortsetter du med kvadratroten av funksjonen x ovenfra, kan den deriverte forenkles som følger:

f kjønn (X) = \frac{1}{2} X^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}}$

f kjønn (X) = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{X}}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}*{frac {1}{sqrt {x}}}}$

f kjønn (X) = 12 \sqrt{X}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Metode 2 av 3: Bruk av kjederegelen for kvadratrotfunksjoner

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 5

1. Revider kjederegelen for funksjoner. Kjederegelen er en regel for deriverte som du bruker når den opprinnelige funksjonen kombinerer en funksjon i en annen funksjon. Kjederegelen sier det, for to funksjoner

f (X)

$f(x)$ og

g (X)

${displaystyle g(x)}$ , den deriverte av kombinasjonen av de to funksjonene kan finnes som følger:

hvis $y = f (g (X))$ ${displaystyle y=f(g(x))}$ , deretter $y kjønn = f^{kjønn} (g) * g^{kjønn} (X)$ ${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ .

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 6

2. Definer kjederegelfunksjonene. Bruk av kjederegelen krever at du først definerer de to funksjonene som utgjør den kombinerte funksjonen din. For kvadratrotfunksjoner er den ytterste funksjonen

f (g)

${displaystyle f(g)}$ kvadratrotfunksjonen og den innerste funksjonen

g (X)

${displaystyle g(x)}$ funksjonen under det radikale.

For eksempel: anta at du har den deriverte av

\sqrt{3 X + 2}

${displaystyle {sqrt {3x+2}}}$ ønsker å finne. Definer deretter de to delene som følger:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

g (X) = (3 X + 2)

${displaystyle g(x)=(3x+2)}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 7

3. Finn de deriverte av de to funksjonene. For å bruke kjederegelen på kvadratroten av en funksjon, må du først finne den deriverte av den generelle kvadratrotfunksjonen:

f (g) = \sqrt{g} = g^{\frac{1}{2}}

${displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}$

f kjønn (g) = \frac{1}{2} g^{- \frac{1}{2}}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2}}g^{-{frac {1}{2}}}}$

f kjønn (g) = 12 \sqrt{g}

${displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2{sqrt {g}}}}}$

Bestem deretter den deriverte av den andre funksjonen:

g (X) = (3 X + 2)

${displaystyle g(x)=(3x+2)}$

g kjønn (X) = 3

${displaystyle g^{prime }(x)=3}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 8

4. Kombiner funksjonene i kjederegelen. Kjederegelen er

y kjønn = f^{kjønn} (g) * g^{kjønn} (X)

${displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}$ . Kombiner derivatene som følger:

y kjønn = 12 \sqrt{g} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {g}}}}*3}$

y kjønn = 12 \sqrt{(3 X + 2} * 3

${displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {(3x+2}}}}*3}$

y kjønn = 32 \sqrt{(3 X + 2}

${displaystyle y^{prime }={frac {3}{2{sqrt {(3x+2}}}}}$

Metode 3 av 3: Finne de deriverte av rotfunksjoner raskt

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 9

1. Bestem deriverte av en kvadratrotfunksjon ved å bruke en rask metode. Når du vil finne den deriverte av kvadratroten av en variabel eller en funksjon, kan du bruke en enkel regel: den deriverte vil alltid være den deriverte av tallet under radikalet, delt på det dobbelte av den opprinnelige kvadratroten. Symbolsk kan dette representeres som:

hvis $f (X) = \sqrt{du}$ ${displaystyle f(x)={sqrt {u}}}$ , deretter $f kjønn (X) = du kjønn 2 \sqrt{du}$ ${displaystyle f^{prime }(x)={frac {u^{prime }}{2{sqrt {u}}}}}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 10

2. Finn den deriverte av tallet under radikalet. Dette er et tall eller en funksjon under kvadratrottegnet. For å bruke denne raske metoden, finn bare den deriverte av tallet under radikalen. Sjekk ut følgende eksempler:

I funksjonen

\sqrt{5 X + 2}

${displaystyle {sqrt {5x+2}}}$ , er rotnummeret

(5 X + 2)

${displaystyle (5x+2)}$ . Den deriverte er

5

$5$ .

I funksjonen

\sqrt{3 X} 4

${displaystyle {sqrt {3x^{4}}}}$ , er rotnummeret

3 X 4

${displaystyle 3x^{4}}$ . Den deriverte er

12 X 3

${displaystyle 12x^{3}}$ .

I funksjonen

\sqrt{s Jeg n (X)}

${displaystyle {sqrt {sin(x)}}}$ , er rotnummeret

synd (X)

${displaystyle sin(x)}$ . Den deriverte er

\cos (X)

${displaystyle cos(x)}$ .

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 11

3. Skriv den deriverte av rottallet som telleren for en brøk. Den deriverte av en kvadratrotfunksjon vil inneholde en brøk. Telleren til denne brøken er den deriverte av rottallet. Så, i eksempelfunksjonene ovenfor, vil den første delen av den deriverte gå slik:

hvis

f (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , deretter

f kjønn (X) = \frac{5}{nevner}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{text{nevner}}}}$

hvis

f (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , deretter

f kjønn (X) = 12 X 3 nevner

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{3}}{text{nevner}}}}$

hvis

f (X) = \sqrt{synd (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , deretter

f kjønn (X) = \cos (X) nevner

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{tekst{nevner}}}}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 12

4. Skriv nevneren som dobbelt den opprinnelige kvadratroten. Med denne raske metoden er nevneren to ganger den opprinnelige kvadratrotfunksjonen. Så i de tre eksempelfunksjonene ovenfor er nevnerne til de deriverte:

hvis

f (X) = \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}$ , deretter

f kjønn (X) = disk 2 \sqrt{5 X + 2}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{counter}}{2{sqrt {5x+2}}}}}$

hvis

f (X) = \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}$ , deretter

f kjønn (X) = disk 2 \sqrt{3 X} 4

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{counter}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}}$

hvis

f (X) = \sqrt{synd (X)}

${displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}$ , deretter

f kjønn (X) = disk 2 \sqrt{synd (X)}

${displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{counter}}{2{sqrt {sin(x)}}}}}$

Bilde med tittelen Differentiate the Square Root of X Step 13

5. Kombiner telleren og nevneren for å finne den deriverte. Sett de to halvdelene av brøken sammen og resultatet vil være den deriverte av den opprinnelige funksjonen.

hvis