Finne inversen til en firsideligning

Innhold

Trinn

Inverse funksjoner kan være svært nyttige for å løse mange matematiske problemer. Å kunne ta en funksjon og finne dens inverse funksjon er et kraftig verktøy. Men med andregradsligninger kan dette være en ganske komplisert prosess. Først må du nøye definere ligningen ved å bestemme et passende domene og område. Du kan da velge mellom tre metoder for å beregne den inverse funksjonen. Valg av metode er hovedsakelig et spørsmål om personlig preferanse.

Trinn

Metode 1 av 3: Finne inversen til en enkel funksjon

1. Finn en funksjon i form av y=enX2+c{displaystyle y=ax^{2}+c} ${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Hvis du har den "riktige" typen funksjon til å begynne med, kan du finne inversen med en enkel algebra. Denne formen er en slags variasjon på

y = en X 2 + c

${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Hvis du sammenligner dette med en standard kvadratisk funksjon,

y = en X 2 + b X + c

${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ , se at mellom sikt

b X

${displaystyle bx}$ mangler. En annen måte å si dette på er at verdien av b er null. Hvis funksjonen din har denne formen, er det ganske enkelt å finne den inverse.

Startfunksjonen din trenger ikke å se akkurat slik ut $y = en X 2 + c$ ${displaystyle y=ax^{2}+c}$ . Så lenge du kan se på det og se at funksjonen kun består av $X 2$ $x^{2}$ termer og konstante tall, vil du kunne bruke denne metoden.
Anta at du starter med ligningen $2 y - 6 + X 2 = y + 3 X^{2} - 4$ ${displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}$ . En rask undersøkelse av denne ligningen avslører at det ikke finnes vilkår for $X$ $X$ å være til første makt. Denne ligningen er en kandidat for denne metoden for å finne en invers funksjon.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 2

2. Forenkle ved å kombinere like termer. Den innledende ligningen kan ha flere ledd i en kombinasjon av addisjon og subtraksjon. Det første trinnet ditt er å kombinere like termer for å forenkle ligningen og omskrive den i standardformatet

y = en X 2 + c

${displaystyle y=ax^{2}+c}$ .

Ta eksempelsammenligningen

2 y - 6 + X 2 = y + 3 X^{2} - 4

${displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}$ , hvor y-leddene kan flyttes til venstre ved å trekke en y fra begge sider. De andre leddene kan flyttes til høyre side ved å legge til 6 på begge sider og

X 2

$x^{2}$ å trekke av fra begge sider. Den resulterende ligningen er

y = 2 X 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 3

3. Bestem domenet og rekkevidden til den forenklede funksjonen. Husk at domenet til en funksjon består av de mulige verdiene av x som kan brukes for å gi en reell løsning. Området til en funksjon består av verdiene til y som vil returnere. For å bestemme domenet til funksjonen, se etter verdier som gir et matematisk umulig resultat. Du angir deretter domenet hvis alle andre verdier av x. For å finne rekkevidden, vurder verdiene til y ved vilkårlige grensepunkter og se på funksjonen til funksjonen.

Se eksempelsammenligningen

y = 2 X 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ . Det er ingen begrensning på de tillatte verdiene av x for denne ligningen. Du må imidlertid innse at dette er ligningen til en parabel, med x=0 som sentrum, og en parabel er ikke en funksjon fordi den ikke er en en-til-en sammenligning av x- og y-verdier. For å begrense denne ligningen og gjøre den til en funksjon som vi kan finne en invers for, må vi definere domenet som x≥0.

Utvalget er begrenset på samme måte. Merk at første termin,

2 X 2

${displaystyle 2x^{2}}$ , vil alltid være positiv eller 0, for enhver verdi av x. Så hvis ligningen legger til +2, vil området være en hvilken som helst verdi y≥2.

Det er nødvendig å definere domenet og omfanget på dette tidlige stadiet. Du vil bruke disse definisjonene senere når du definerer domenet og omfanget av den inverse funksjonen. Faktisk blir domenet til den opprinnelige funksjonen området til den inverse funksjonen, og området til den opprinnelige funksjonen blir domenet til den inverse funksjonen.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 4

4. Bytt rollene til x- og y-leddene. Uten å endre ligningen på noen annen måte, må du erstatte alle former for y med x, og alle former av x med y. Dette er trinnet som faktisk `inverterer` ligningen.

Arbeider med eksempelsammenligningen

y = 2 X 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ , dette inversjonstrinnet vil resultere i den nye ligningen av

X = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ .

Et alternativt format er å erstatte y-leddene med x, men erstatte x-leddene med begge

y - 1

${displaystyle y^{-}1}$ eller

f (X) - 1

${displaystyle f(x)^{-}1}$ for å indikere den inverse funksjonen.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 5

5. Omskriv den inverse ligningen i form av y. Ved å bruke en kombinasjon av algebraiske trinn, og sørge for at den samme operasjonen utføres på begge sider av ligningen, må du isolere variabelen y. For sammenligningen

X = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ , denne revisjonen ser slik ut:

X = 2 y 2 + 2

${displaystyle x=2y^{2}+2}$ (opprinnelig premiss)

X - 2 = 2 y 2

${displaystyle x-2=2y^{2}}$ (trekk fra 2 fra begge sider)

X - 2 2 = y^{2}

${displaystyle {frac {x-2}{2}}=y^{2}}$ (del begge sider med 2)

\sqrt{} X - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ (kvadratrot av begge sider; husk at kvadratroten resulterer i både positive og negative mulige svar)

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 6

6. Bestem domenet og området til den inverse funksjonen. Som i begynnelsen, undersøk den inverterte ligningen for å bestemme domenet og området. Med to mulige løsninger, velg løsningen som har et domene og en rekkevidde som er motsatt av det opprinnelige domenet og området.

Se løsningen av eksempelligningen ±

\sqrt{} X - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ . Siden kvadratrotfunksjonen ikke er definert for negative verdier, må termen . være

X - 2 2

${displaystyle {frac {x-2}{2}}}$ alltid være positiv. Derfor må de tillatte verdiene for x (domenet) være x≥2. Med det som domene er de resulterende verdiene av y (området) enten alle verdier y≥0, hvis du tar den positive løsningen av kvadratroten, eller y≤0, hvis du tar den negative løsningen av kvadratroten. Merk at for å finne den inverse funksjonen, definerte du opprinnelig domenet som x≥0. Derfor er den riktige løsningen for den inverse funksjonen det positive alternativet.

Sammenlign domenet og området til inversen med domenet og området til originalen. Husk det for den opprinnelige funksjonen,

y = 2 X 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ , domenet ble definert som alle verdier av x≥0, og området ble definert som alle verdier av y≥2. For den inverse funksjonen bytter disse verdiene nå, og domenet er alle verdier på x≥2, og området er alle verdier av y≥0.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 7

7. Sjekk om den inverse funksjonen din fungerer. For å være sikker på at arbeidet ditt er riktig og inversen din er den riktige ligningen, velg en verdi for x og plasser den i den opprinnelige ligningen for å finne y. Sett deretter verdien av y i stedet for x i den inverse ligningen din, og se om du får tallet du startet med. I så fall er den inverse funksjonen din riktig.

Som et eksempel, velg verdien x=1 for den opprinnelige ligningen

y = 2 X 2 + 2

${displaystyle y=2x^{2}+2}$ . Dette gir resultatet y=4.

Deretter setter du verdien 4 i den inverse funksjonen

\sqrt{} X - 2 2 = y

${displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}$ . Dette gir faktisk resultatet y=1. Du kan konkludere med at den inverse funksjonen din er riktig.

Metode 2 av 3: Fullfør kvadratet for å finne den inverse funksjonen

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 8

1. Gi andregradsligningen riktig form. For å finne inversen må du starte med formens ligning

f (X) = en X 2 + b X + c

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ . Om nødvendig må du kombinere lignende termer for å få ligningen i dette formatet. Med ligningen skrevet på denne måten kan du fortelle litt mer om den.

Det første du vil legge merke til er verdien av koeffisienten a. hvis en>0, så definerer ligningen en parabel hvis ender peker oppover (dalparabel). hvis en<0, så definerer ligningen en parabel hvis ender peker nedover (fjellparabel). Merk at a≠0. Hvis den ikke var det, ville dette vært en lineær funksjon og ikke en kvadratisk.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 9

2. Gjenkjenne standardformatet til kvadratisk. Før du kan finne den inverse funksjonen, må du skrive om ligningen i standardformatet. Standardformatet for en kvadratisk funksjon er

f (X) = en (X - h) 2 + k

${displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ . De numeriske leddene a, h og k vil bli evaluert hvis du transformerer likningen ved å beregne kvadratet.

Merk at denne standardformen består av en perfekt kvadratisk term,

(X - h) 2

${displaystyle (x-h)^{2}}$ , som deretter modifiseres av de to andre elementene a og k. For å komme frem til denne perfekte kvadratiske formen, må du lage visse betingelser i kvadratisk ligning.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 10

3. Tenk tilbake på formen til en perfekt kvadratisk funksjon. Husk at en kvadratisk funksjon som er et perfekt kvadrat oppstår fra to binomialer av

(X + b) (X + b)

${displaystyle (x+b)(x+b)}$ , eller

(X + b) 2

${displaystyle (x+b)^{2}}$ . Hvis du gjør denne multiplikasjonen, får du

X 2 + 2 b X + b^{2}

${displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}$ . Så det første leddet i kvadratet er det første leddet i binomialet, i annen, og det siste leddet i kvadratet er kvadratet til det andre leddet i binomialet. Mellomleddet består av to ganger produktet av de to leddene, i dette tilfellet

2 * X * b

${displaystyle 2*x*b}$ .

For å fullføre firkanten, arbeid i revers. Du begynner med

X 2

$x^{2}$ og en andre x-termin. Fra koeffisienten til det begrepet, som du kan definere som `2b`, må du få

b 2

${displaystyle b^{2}}$ se å finne. Dette krever en kombinasjon av å dele på to og deretter kvadrere resultatet.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 11

4. Pass på at koeffisienten til X2{displaystyle x^{2}} $x^{2}$ 1 er. Husker du den opprinnelige formen til den kvadratiske funksjonen

en X 2 + b X + c

${displaystyle ax^{2}+bx+c}$ . Hvis den første koeffisienten er noe annet enn 1, må du dele alle ledd med den verdien for å få a=1.

Ta for eksempel den kvadratiske funksjonen

f (X) = 2 X 2 + 6 X - 4

${displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}$ . Du kan forenkle dette ved å dele alle ledd med 2 for å få den resulterende funksjonen

f (X) = 2 (X 2 + 3 X - 2)

${displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)}$ å få. Koeffisienten 2 forblir utenfor parentesene og vil være en del av din endelige løsning.

Hvis alle ledd ikke er multipler av a, får du brøkkoeffisienter. For eksempel: funksjonen

f (X) = 3 X 2 - 2 X + 6

${displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6}$ vil bli forenklet til

f (X) = 3 (X 2 - 2 X 3 + 2)

${displaystyle f(x)=3(x^{2}-{frac {2x}{3}}+2)}$ . Regn ut brøkene nøye.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 12

5. Finn halvparten av den midterste koeffisienten og kvadrat den. Du har allerede de to første leddene i den kvadratiske formelen. Dette er begrepet

X 2

$x^{2}$ og koeffisienten som representerer x-leddet. Ved å ta denne koeffisienten som verdien den har, kan du legge til eller trekke fra tallet som trengs for å lage et perfekt kvadrat. Husk ovenfra at den nødvendige tredje leddet i kvadratet er denne andre koeffisienten delt på to, og deretter kvadratisk.

For eksempel hvis de to første leddene i din kvadratiske funksjon

X 2 + 3 X

${displaystyle x^{2}+3x}$ du finner det nødvendige tredje leddet ved å dele 3 med 2 (eller 3/2), og deretter kvadrere det for å få 9/4. Den kvadratiske

X 2 + 3 X + 9 / 4

${displaystyle x^{2}+3x+9/4}$ er et perfekt kvadrat.

Et annet eksempel: anta de to første leddene

X 2 - 4 X

${displaystyle x^{2}-4x}$ er. Halvparten av mellomleddet er -2, og så kvadrerer du det for å få 4. Den resulterende perfekte firkanten er

X 2 - 4 X + 4

${displaystyle x^{2}-4x+4}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 13

6. Legg til og trekk fra den nødvendige tredje terminen samtidig. Dette er et vanskelig konsept, men det fungerer. Å legge til og trekke fra det samme tallet på forskjellige steder i funksjonen din endrer egentlig ikke verdien av funksjonen. Men ved å gjøre dette vil du få funksjonen din i riktig form.

Anta at du har funksjonen

f (X) = X 2 - 4 X + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ . Som nevnt ovenfor bruker du de to første leddene for å fullføre kvadratet. Ved å bruke mellomleddet på -4x genererer du et tredje ledd +4. Legg til 4 og trekk 4 fra ligningen, i skjemaet

f (X) = (X 2 - 4 X + 4) + 9 - 4

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}$ . Parentesene er kun plassert for å definere kvadratisk ligning du lager. Legg merke til +4 inne i parentesene og -4 på utsiden. Forenkle tallene til resultatet

f (X) = (X 2 - 4 X + 4) + 5

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 14

7. Faktor den kvadratiske ligningen. Polynomet i parentes er en andregradsligning, som du kan skrive om som

(X + b) 2

${displaystyle (x+b)^{2}}$ . I eksemplet fra forrige trinn (

f (X) = (X 2 - 4 X + 4) + 5

${displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}$ ) faktorer du den kvadratiske faktoren inn i

(X - 2) 2

${displaystyle (x-2)^{2}}$ . Kopier resten av ligningen slik at løsningen din

f (X) = (X - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ blir. Dette er den samme funksjonen som den opprinnelige andregradsligningen (

f (X) = X 2 - 4 X + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ ), omskrevet som standardskjema

f (X) = en (X - h) 2 + k

${displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$ .

Merk at for denne funksjonen er a=1, h=2 og k=5. Verdien av å skrive ligningen i denne formen er at en, fordi den er positiv, forteller deg at parabelen peker oppover. Verdiene (h, k) indikerer toppunktet i bunnen av parablen, hvis du ville tegne det.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 15

8. Definer domenet og omfanget av funksjonen. Domenet er settet med x-verdier som kan brukes som innganger til funksjonen. Området er settet med y-verdier som kan være resultatet. Husk at en parabel ikke er en funksjon med en definerbar invers, fordi det ikke er noen en-til-en-relasjon mellom x-verdier og y-verdier, på grunn av symmetrien til parablen. For å løse dette problemet må du definere domenet som alle verdier av x som er større enn x=h, toppunktet til parablen.

Fortsett å jobbe med forhåndsvisningsfunksjonen

f (X) = (X - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ . Siden dette er i standardformat, kan du bestemme toppunktet som x=2, y=5. Så for å unngå symmetrien jobber du kun med høyre side av grafen, og setter domenet hvis alle verdier x≥2. Hvis du setter inn verdien x=2 i funksjonen, returneres y=5. Du kan se at verdiene til y vil øke når x øker. Derfor er området til denne ligningen y≥5.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 16

9. Bytt x- og y-verdier. Dette er trinnet der du starter med å finne den inverse formen til ligningen. La ligningen være i sin helhet bortsett fra å bytte disse variablene.

Fortsett å jobbe med funksjonen

f (X) = (X - 2) 2 + 5

${displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}$ . Sett inn x i stedet for f(x), og sett inn y (eller f(x), hvis du foretrekker det) i stedet for x. Dette gir som en ny funksjon

X = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 17

10. Omskriv den inverse ligningen i form av y. Ved å bruke en kombinasjon av algebraiske trinn, pass på at du utfører samme operasjon jevnt på begge sider av ligningen, isoler variabelen y. For jobbsammenligningen

X = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ denne revisjonen ser slik ut:

X = (y - 2) 2 + 5

${displaystyle x=(y-2)^{2}+5}$ (opprinnelig utgangspunkt)

X - 5 = (y - 2) 2

${displaystyle x-5=(y-2)^{2}}$ (trekk fra 5 fra begge sider)

\sqrt{X - 5} = y - 2

${displaystyle {sqrt {x-5}}=y-2}$ (kvadratrot av begge sider; husk at kvadratroten gir både positive og negative mulige svar)

\sqrt{X - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ (legg til 2 på begge sider)

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 18

11. Bestem domenet og området til den inverse funksjonen. Som i begynnelsen, undersøk den inverse ligningen for å bestemme domenet og området. Med to mulige løsninger, velg løsningen som har et domene og en rekkevidde som er motsatt av det opprinnelige domenet og området.

Se løsningen av eksempelligningen ±

\sqrt{X - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ . Siden kvadratrotfunksjonen ikke er definert for negative verdier, må termen . være

X - 5

${displaystyle {x-5}}$ alltid være positiv. Derfor må de tillatte verdiene for x (domenet) være x≥5. Med det som domene er de resulterende verdiene av y (området) enten alle verdier y≥2 (hvis du tar den positive løsningen av kvadratroten), eller y≤2 (hvis du velger den negative løsningen av kvadratroten). Husk at du opprinnelig definerte domenet som x≥2, for å finne den inverse funksjonen. Derfor er den riktige løsningen for den inverse funksjonen det positive alternativet.

Sammenlign domenet og området til inversen med domenet og området til originalen. Husk at for den opprinnelige funksjonen ble domenet definert som alle verdier av x≥2, og området ble definert som alle verdier av y≥5. For denne inverse funksjonen bytter disse verdiene, og domenet er nå alle verdier av x≥5, og området er alle verdier av y≥2.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 19

12. Sjekk om den inverse funksjonen din fungerer. For å være sikker på at arbeidet ditt er riktig og inversen din er den riktige ligningen, velg en verdi for x og plasser den i den opprinnelige ligningen for å finne y. Sett deretter verdien av y i stedet for x i den inverse ligningen din, og se om du får tallet du startet med. Hvis ja, er den inverse funksjonen din riktig.

Som et eksempel, velg verdien x=3 som skal inkluderes i den opprinnelige ligningen

f (X) = X 2 - 4 X + 9

${displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}$ å behandle. Dette gir resultatet y=6.

Deretter behandler du y=6 i den inverse funksjonen

\sqrt{X - 5} + 2 = y

${displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}$ . Dette returnerer y=3, som er tallet du startet med. Du kan konkludere med at den inverse funksjonen din er riktig.

Metode 3 av 3: Bruke kvadratformelen

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 20

1. Bruk den kvadratiske formelen for å løse x. Husk at når du løser kvadratiske ligninger, er det én metode for å faktorisere dem (hvis mulig). Hvis factoring ikke fungerte, kan du bruke kvadratformelen, som vil gi de virkelige løsningene til enhver kvadratisk ligning. Du kan også bruke kvadratformelen som en metode for å finne inverse funksjoner.

Kvadratisk formel er x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
Merk at kvadratformelen gir to mulige løsninger, en positiv og en negativ. Du vil gjøre dette valget basert på å bestemme domenet og omfanget av funksjonen.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 21

2. Start med en andregradsligning for å finne inversen. Din andregradsligning skal starte i formatet

f (X) = en X 2 + b X + c

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ . Ta de algebraiske trinnene som trengs for å få ligningen din i den formen.

For denne delen av denne artikkelen skal du bruke eksempelligningen

f (X) = X 2 + 2 X - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 22

3. Plott ligningen for å bestemme domenet og området. Tegn grafen til funksjonen, enten ved å bruke en grafisk kalkulator eller plott flere punkter til du kan tegne parabelen. Du vil se at denne ligningen definerer en parabel med det høyeste punktet på (-1,-4). Så for å definere dette som en funksjon som vil ha en invers, definerer du domenet som alle verdier av x≤-1. Området er da alle verdier y≥-4.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 23

4. Bytt ut variablene x og y. For å finne inversen, bytt variablene x og y. La ligningen være uendret, bortsett fra å bytte variablene. På dette stadiet erstatter du x med f(x).

Basert på arbeidsligningen

f (X) = X 2 + 2 X - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ , gir dette resultatet

X = y 2 + 2 y - 3

${displaystyle x=y^{2}+2y-3}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 24

5. Sett venstre side av ligningen lik null. Husk at for å bruke den kvadratiske formelen må du sette ligningen lik null, og deretter bruke koeffisientene i formelen. På samme måte starter denne metoden for å finne en invers funksjon med å sette ligningen lik null.

For eksempelligningen, for å få venstre side lik null, må du trekke x fra begge sider av ligningen. Dette gir resultatet

0 = y 2 + 2 y - 3 - X

${displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}$ .

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 25

6. Omdefiner variablene slik at de passer til kvadratformelen. Dette trinnet er litt vanskelig. Vit at kvadratformelen løser for x, i ligningen

0 = en X 2 + b X + c

${displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}$ . Så, for ligningen du har nå,

0 = y 2 + 2 y - 3 - X

${displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}$ , for å samsvare med den klassifiseringen, må du omdefinere begrepene som følger:

Permisjon

y 2 = en X^{2}

${displaystyle y^{2}=ax^{2}}$ . Så x=1

Permisjon

2 y = b X

${displaystyle 2y=bx}$ . Så b=2

Permisjon

(- 3 - X) = c

${displaystyle (-3-x)=c}$ . Så, c=(-3-x)

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 26

7. Løs kvadratformelen med disse omdefinerte verdiene. Normalt vil du behandle verdiene til a, b og c i kvadratformelen for å løse for x. Husk imidlertid at du tidligere byttet x og y for å finne den inverse funksjonen. Så når du bruker kvadratformelen til å løse for x, løser du faktisk y, eller f-inversen. Trinnene for å løse kvadratformelen fungerer som følger:

x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a

x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)

x=((-2)±√(4+12+4x)))/2

x=(-2±√(16+4x))/2

x=(-2±√(4)(4+x)))/2

x=-2±2√(4+x))/2

x=-1±√(4+x)

f-invers = -1±√(4+x)(Dette siste trinnet er mulig fordi du byttet f(x) for variabelen x på et tidligere stadium).

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 27

8. Skriv ned de to mulige løsningene. Merk at kvadratformelen gir to mulige utfall ved å bruke ±-symbolet. Skriv ut de to separate løsningene for å gjøre det lettere å bestemme domene og rekkevidde og gi den riktige endelige løsningen. Disse to løsningene er:

f - 1 = - 1 + \sqrt{4 + X}

${displaystyle f^{-1}=-1+{sqrt {4+x}}}$

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + X}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 28

9. Bestem domenet og området til den inverse funksjonen. Merk at for å definere kvadratroten, må domenet være x≥-4. Husk at domenet til den opprinnelige funksjonen var x≤-1 og området var y≥-4. For å velge den inverse funksjonen som tilsvarer, trenger du den andre løsningen,

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + X}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$ velg som riktig invers funksjon.

Bilde med tittelen Finn det motsatte av en kvadratisk funksjon Trinn 29

10. Sjekk om den inverse funksjonen din er riktig. For å være sikker på at arbeidet ditt er riktig og inversen din er den riktige ligningen, velg en hvilken som helst verdi for x og legg den inn i den opprinnelige ligningen for å finne y. Sett deretter verdien av y i stedet for x i den inverse ligningen din, og se om du får tallet du startet med. Hvis ja, er den inverse funksjonen din riktig.

Forutsatt den opprinnelige funksjonen

f (X) = X 2 + 2 X - 3

${displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}$ , velg x=-2. Dette returnerer y=-3. Erstatt nå verdien av x=-3 i den inverse funksjonen,

f - 1 = - 1 - \sqrt{4 + X}

${displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}$ . Dette returnerer -2, som faktisk er verdien du startet med. Så din definisjon av den inverse funksjonen er riktig.