Forstå analyse (med bilder)

Innhold

Trinn
Tips

Analyse (også kalt kalkulus) er en gren av matematikken fokusert på grenser, funksjoner, deriverte, integraler og uendelige rekker. Dette emnet dekker mye av matematikk, og ligger til grunn for mange av formlene og ligningene som brukes i fysikk og mekanikk. Du vil sannsynligvis trenge flere år med matematikk på videregående for å forstå analyse riktig, men denne artikkelen vil hjelpe deg med å gjenkjenne nøkkelbegrepene, samt en bedre forståelse av teorien.

Trinn

Del 1 av 3: Det grunnleggende om analyse

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 1

1. Analyse er studiet av hvordan ting endrer seg. Analyse er en gren av matematikk som undersøker tall og grafer, vanligvis hentet fra virkelige data, og forklarer hvordan de endrer seg. Selv om dette kanskje ikke virker veldig nyttig i begynnelsen, er analyse en av de mest brukte grenene av matematikk. Tenk deg å ha verktøyene som kan fortelle deg hvor raskt virksomheten din vokser til enhver tid, eller for å kartlegge kursen til et romskip, og hvor raskt drivstoffet blir brukt opp. Analyse er et viktig verktøy innen ingeniørfag, økonomi, statistikk, kjemi og fysikk, og har bidratt til mange oppfinnelser og oppdagelser.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 2

2. Funksjoner er relasjoner mellom to tall og brukes til å kartlegge relasjoner. De er regler for forholdet mellom tall, og matematikere bruker dem til å lage grafer. I en funksjon har hver inngang nøyaktig ett utfall. For eksempel: i

y = 2 X + 4,

$y=2x+4,$ returnerer en hvilken som helst verdi av

X

$X$ en ny verdi for

y .

$y$ I tilfelle det

X = 2,

$x=2,$ da er

y = 8.

$y=8$ I tilfelle det

X = 10,

$x=10,$ , deretter

y = 24.

$y=24$ Analyse studerer alltid funksjoner og hvordan de endrer seg, og bruker disse funksjonene til å kartlegge sammenhenger.

Funksjoner skrives ofte som

f (X) = X + 3.

$f(x)=x+3$ Dette betyr at funksjonen

f (X)

$f(x)$ legg alltid til 3 til tallet du har for

X

$X$ Fyll inn. Skriver du inn 2, skriver du ned

f (2) = (2) + 3,

$f(2)=(2)+3,$ eller

f (2) = 5.

$f(2)=5$

Funksjoner kan også vise komplekse bevegelser. NASA har for eksempel en funksjon for å beskrive hastigheten til en rakett, basert på drivstofforbruk, vindmotstand og rakettens vekt.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 3

3. Tenk på begrepet uendelighet. Uendelighet er den kontinuerlige repetisjonen av en prosess. Det er ikke et spesifikt sted (du kan ikke gå til det uendelige), men snarere oppførselen til et tall eller en ligning, hvis det gjøres for alltid. Dette er viktig for å studere endring: du vil kanskje vite hvor raskt bilen din beveger seg i et gitt øyeblikk, men er det hvor raskt bilen din beveger seg i løpet av det gjeldende sekundet?? millisekund? Nanosekund? Du kan finne uendelig mye mindre biter av tid for å være enda mer presis, og det er da analysen starter.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 4

4. Forstå konseptet med grenser. En grense forteller deg hva som skjer når noe nærmer seg det uendelige. Ta tallet 1 og del det på 2. Fortsett å dele på 2, om og om igjen. 1 blir ½ og deretter 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 osv. Hver gang tallet blir mindre og mindre, "nærmere" null. Men hvor stopper det? Hvor mange ganger må du dele 1 på 2 for å få null?? I stedet for å svare på dette spørsmålet, foreslår du i analyse en grense I dette tilfellet er grensen.

Grenser er enklest å visualisere på en graf – for eksempel er det punkter som er nær ved å berøre en graf, men aldri helt?

Grenser kan være antall, uendelige eller til og med ikke-eksisterende. For eksempel med addisjonssekvensen 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... og dette fortsetter i det uendelige, så blir det endelige tallet uendelig stort. Grensen blir da uendelig.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 5

5. Gå gjennom de grunnleggende matematiske begrepene algebra, trigonometri og det grunnleggende i matematikk. Analyse er avhengig av mye av matematikken du har lært før. Å være godt kjent med alle emner gjør det mye lettere å lære og forstå analyser. Noen emner du bør oppdatere kunnskapen om er:

Algebra. Du må forstå de ulike prosessene og kunne løse likninger og likningssystemer med flere variabler. Forstå det grunnleggende om samlinger. Øv på å lage grafer.

Geometri. Geometri er læren om former. Du bør ha grunnleggende kunnskap om trekanter, rektangler og sirkler, og hvordan du regner ut ting som omkrets og areal. Forstå vinkler, linjer og koordinater

trigonometri. Trigonometri er den grenen av matematikken som er opptatt av egenskapene til sirkler og rette trekanter. Vite hvordan du bruker trigonometriske identiteter, grafer, funksjoner og inverse trigonometriske funksjoner.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 6

6. Skaff deg en grafisk kalkulator. Analyse er ikke lett å forstå uten å se hva du gjør. Grafiske kalkulatorer gjør funksjoner visuelle slik at du bedre kan forstå hvilke ligninger du har å gjøre med. Ofte vises også grensene på skjermen, og deriverte og funksjoner beregnes automatisk.

Mange smarttelefoner og nettbrett tilbyr i dag billige, men effektive grafiske apper hvis du ikke vil eller ikke kan kjøpe en grafkalkulator.

Del 2 av 3: Forstå derivater

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 7

1. Analyse brukes til å studere `endring i et bestemt øyeblikk`. Å vite hvorfor noe endres på et eksakt øyeblikk er kjernen i analysen. For eksempel gir analyse deg ikke bare hastigheten til en bil, men også hvor mye hastigheten endrer seg i et gitt øyeblikk. Dette er en av de enkleste bruksområdene for analyse, men veldig viktig. Tenk deg hvor viktig slik informasjon er for å bestemme hastigheten som trengs for å få et romskip til månen!

Bestemme endring i et gitt øyeblikk har differensiere. Differensiering er den første av de to store analysegrenene.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 8

2. Bruk derivater for å forstå hvordan ting endres i et gitt øyeblikk. En `derivat` er et fancy ord for noe som ofte gjør elevene nervøse. Selve konseptet er ikke så vanskelig å forstå - det betyr bare "hvor raskt noe endres". De derivatene du vil møte mest i dagliglivet har med hastighet å gjøre. Imidlertid kaller du det vanligvis ikke `deriverten av hastighet`, men ganske enkelt `akselerasjon`.

Akselerasjon er en avledning – den forteller deg hvor raskt noe akselererer eller bremser, dvs. hvordan hastigheten endres.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 9

3. Vit at endringshastigheten er lik helningen mellom to punkter. Dette er en av analysens viktigste oppdagelser. Endringshastigheten mellom to punkter er lik helningen på linjen mellom disse to punktene. Bare tenk på en enkel linje, som for ligningen

y = 3 X .

$y=3x$ Helningen på linjen er 3, noe som betyr at for hver ny verdi på

X,

$X,$

y

$y$ endres med 3. Helningen er den samme som endringshastigheten: en helning på tre betyr at linjen endres med 3 (blir tre ganger større) for hver endring i

X .

$X$ Når

X = 2, y = 6;

$x=2,y=6;$ når

X = 3, y = 9.

$x=3,y=9$

Helningen på linjen er endringen i y delt på endringen i x`.`

Jo større helling skråningen er, jo brattere er linjen. Så å endre bratte linjer betyr en rask endring.

Oppdater kunnskapen din om å bestemme helningen til en linje hvis den har sunket litt.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 10

4. Vit at du kan bestemme helningen til buede linjer. Å bestemme helningen til en rett linje er relativt enkel: hvor mye endres

y

$y$ for enhver verdi av

X ?

$X?$ Men komplekse ligninger som

y = X 2

$y=x^{{2}}$ for en kurve, er mye vanskeligere å bestemme. Du kan imidlertid fortsatt bestemme endringshastigheten mellom to punkter - bare tegne en linje mellom de to punktene og beregne stigningstallet.

For eksempel i

y = X 2,

$y=x^{{2}},$ du kan velge to punkter og beregne stigningstallet. ta

(1, 1)

$(1,1)$ og

(2, 4) .

$(2.4)$ Helningen mellom disse punktene er da lik

4 - 1 2 - 1 = \frac{4}{2} = 2.

${frac{4-1}{2-1}}={frac{4}{2}}=2$ Dette betyr at skiftet mellom

X = 1

$x=1$ og

X = 2

$x=2$ tilsvarer 2.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 11

5. Hvis du ønsker å beregne endringen mer nøyaktig, sørg for at punktene er nærmere hverandre. Jo nærmere du velger de to punktene, desto mer nøyaktig er svaret. Tenk deg at du vil vite hvor mye bilen din akselererer når du trykker på gasspedalen. Du vil ikke måle hastighetsendringen mellom hjemmet og supermarkedet, men hastighetsendringen fra det øyeblikket du tråkker på gasspedalen. Jo nærmere lesingen din kommer den brøkdelen av et sekund, desto mer nøyaktig blir beregningen av endringen.

For eksempel undersøker forskere hvor raskt noen arter utryddes for å redde dem. Imidlertid dør flere dyr om vinteren enn om sommeren, så det er ikke nyttig å studere endringshastigheten over hele året - det er bedre å bestemme endringshastigheten innen en mindre periode, for eksempel fra 1. juli til 1. august.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 12

6. Bruk uendelig korte linjer for å bestemme den `øyeblikkelige endringshastigheten`, eller finn den deriverte. Det er her analyse ofte blir litt forvirrende, men dette er faktisk resultatet av to enkle fakta. Først av alt, vet du at helningen til en linje er lik hvor raskt den linjen endres. For det andre vet du at jo nærmere punktene på linjen er hverandre, jo mer nøyaktig vil avlesningen bli. Men hvordan finner du endringshastigheten ved et gitt punkt hvis helningen er forholdet mellom to punkter? Svaret: Du velger to punkter som er uendelig nær hverandre.

Tenk på eksempelet der du fortsetter å dele 1 med 2, og med det 1/2, 1/4, 1/8 osv. får. Så til slutt kommer du nær null, og svaret er `nesten null`. Punktene er så nær hverandre at de er "nesten like". Dette er naturen til derivater.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 13

7. Lær hvordan du bestemmer ulike derivater. Det er mange forskjellige teknikker for å finne en derivert avhengig av ligningen, men de fleste av dem gir mening når du husker det grunnleggende om deriverte ovenfor. Alle derivater er en måte å finne helningen på en `uendelig liten` linje. Nå som du vet mer om derivatteori, er mye av arbeidet med å finne svarene.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 14

8. Bestem de deriverte ligningene for å forutsi endringshastigheten til enhver tid. Det er nyttig å bestemme endringshastigheten til enhver tid ved å bruke derivater, men det fine med analyse er at du kan lage en ny modell for enhver funksjon. Avledet av

y = X 2,

$y=x^{{2}},$ for eksempel er

y kjønn = 2 X .

$y^{{prime }}=2x$ Dette betyr at du kan finne den deriverte for et hvilket som helst punkt på en graf

y = X 2

$y=x^{{2}}$ ved å substituere i derivatet. På poenget

(2, 4),

$(2.4),$ hvorved

X = 2,

$x=2,$ er den deriverte 4, fordi

y kjønn = 2 (2) .

$y^{{prime }}=2(2)$

Det er forskjellige notasjoner for derivater. I det forrige trinnet ble derivater indikert med en indikator --- derivatet av

y,

$y,$ så skriv det ned som

y kjønn .

$y^{{prime }}$ Dette kalles Lagranges notasjon.

Det er en annen måte som ofte brukes til å skrive derivater. I stedet for med en forsiktighet, merker du

d d X .

${frac{{mathrm{d}}}{{mathrm{d}}x}}$ Husk at funksjonen

y = X 2

$y=x^{{2}}$ avhenger av variabelen

X .

$X$ Så vi skriver den deriverte som

d y d X

${frac{{mathrm{d}}y}{{mathrm{d}}x}}$ --- den deriverte av

y

$y$ før

X .

$X$ Dette kalles Leibniz .s notasjon.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 15

9. Prøv å huske praktiske eksempler på derivater, hvis du synes dette er vanskelig å forstå. Det enkleste eksemplet er basert på hastighet, og omfatter mange forskjellige derivater som vi kommer over hver dag. Ikke glem: en derivat er et mål på hvor raskt noe endres. Tenk på et enkelt eksperiment. Du ruller en klinkekule på et bord og måler hvor langt den beveger seg hver gang og hvor fort. Tenk deg nå at den rullende klinkekulen følger en linje på en graf - du bruker derivater for å måle de øyeblikkelige endringene til enhver tid på den linjen.

Hvor raskt beveger klinken seg?? Med hvilken hastighet endres posisjonen (eller deriverten) til den bevegelige kulen?? Vi kaller denne avledet `hastighet`.

Rull klinken ned en rampe og se hvordan hastigheten endres. Hva er endringshastigheten, eller avledet, av hastigheten til klinkekulen?? Denne deriverten er det vi kaller "akselerasjon".

Rull marmoren langs et bølgende spor, som en berg-og-dal-bane. Hvor mye får kulen fart når den ruller ned, og hvor mye bremser kulen oppoverbakke?? Hvor fort går klinken akkurat når den er halvveis opp den første bakken? Dette er da den øyeblikkelige endringshastigheten, eller den deriverte, av den klinkekulen på det ene spesifikke punktet.

Del 3 av 3: Forstå integraler

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 16

1. Vit at du kan bruke analyse for å finne komplekse områder og volumer. Analyse lar deg måle komplekse former som ellers er vanskelige å måle. Tenk for eksempel på spørsmålet om å ville vite hvor mye vann det er i en lang, uregelmessig formet innsjø - det er umulig å måle hver liter vann individuelt eller å bruke en linjal for å måle formen på innsjøen. Med analyse kan du studere hvordan kantene på innsjøen endrer seg, og deretter bruke den informasjonen til å finne ut hvor mye vann den inneholder.

Fremstillingen av geometriske modeller og studiet av volumer har integrere. Integralregning er den andre viktige analysegrenen.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 17

2. Vit at integrasjon er området under en graf. Integrasjon brukes til å måle rommet under en linje, som lar deg bestemme området med merkelige eller uregelmessige former. Ta ligningen

y = 4 - X 2,

$y=4-x^{{2}},$ Det ser ut som et omvendt "U". Du kan beregne hvor mye plass det er under U ved å bruke integralregning. Du lurer kanskje på hva poenget med det er, men tenk på bruken av det i produksjonsprosessene -- du kan lage en funksjon som ser ut som en ny del, og bruke integral aritmetikk for å finne arealet til den delen, og for å hjelpe deg med å bestille riktig mengde materiale.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 18

3. Vet å velge et område å integrere. Du kan ikke bare integrere en hel funksjon. For eksempel,

y = X

$y=x$ er en diagonal linje som fortsetter for alltid, og du kan ikke integrere hele greia, for den ville aldri stoppe. Når du integrerer funksjoner, må du velge et område, for eksempel alle punkter mellom

X = 2

$x=2$ og

X = 5.

$x=5$

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 19

4. Hvordan beregner du arealet til et rektangel?. Anta at du har en flat linje over en graf, som f.eks

y = 4.

$y=4$ For å finne området under det, finn arealet av et rektangel mellom

y = 0

$y=0$ og

y = 4.

$y=4$ Dette er enkelt å måle, men det fungerer ikke med bølgete linjer fordi du ikke enkelt kan konvertere dem til rektangler.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 20

5. Vit at i integralregning legges mange små rektangler sammen for å finne arealet til et område. Hvis du forstørrer en kurve enormt, ser den ut som en rett linje. Du ser dette hver dag -- du kan ikke se jordens krumning fordi du er så nær jordens overflate. Integrasjon skaper et uendelig antall små rektangler under en kurve som er så små at de i utgangspunktet er flate, slik at du kan telle dem. Alle disse rektanglene lagt sammen danner arealet av området under en kurve.

Anta at du legger sammen mange små segmenter under grafen, og at bredden på hvert segment nesten null er.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 21

6. Vet hvordan du leser og skriver integraler riktig. Integraler består av 4 deler. En typisk integral ser slik ut:

\int f (X) d X

$int f(x){mathrm{d}}x$

Det første symbolet,

\int,

$int ,$ er symbolet for integrasjon (dette er faktisk en strukket S).

Den andre delen,

f (X),

$f(x),$ er funksjonen. Hvis det er inne i integralet, kalles det de integrert.

Og til slutt

d X

${mathrm{d}}x$ på slutten, som forteller deg hvilken variabel du integrerer og til hvilken. Fordi funksjonen

f (X)

$f(x)$ avhengig av

X,

$X,$ er det du integrerer deg mot.

Husk at variabelen du integrerer kanskje ikke alltid er det

X,

$X,$ vil være, så vær forsiktig med hva du skriver ned.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 22

7. Lær mer om å finne integraler. Integralregning kommer i mange former, og du må lære mange forskjellige formler for å integrere hver funksjon. Imidlertid følger de alle prinsippene som er skissert ovenfor: integrasjon er summen av et uendelig antall ting.

Integrer ved substitusjon.

Beregning av ubestemte integraler.

Integrer ved å dele.

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 23

8. Vit at integrasjon er det motsatte av differensiering, og omvendt. Dette er en tommelfingerregel som er så viktig at den har fått sitt eget navn: Fundamental Theorem of Integral Account. Siden integrasjon og differensiering er så nært beslektet, kan en kombinasjon av de to brukes til å måle endringshastighet, akselerasjon, hastighet, plassering, bevegelse, etc. å bestemme, uansett hvilken informasjon du har.

Husk for eksempel at den deriverte av hastighet er akselerasjon, så du kan bruke hastighet til å finne akselerasjon. Men hvis du bare kjenner akselerasjonen til noe (som objekter som faller på grunn av tyngdekraften), kan du integrere for å finne hastigheten igjen!

Bilde med tittelen Understand Calculus Step 24

9. Vet at integrasjon også lar deg kontrollere volumet til 3D-objekter. Å spinne en flat form er en måte å lage 3D-faste stoffer på. Bare forestill deg en mynt på bordet som snurrer - legg merke til hvordan mynten ser ut til å ha form som en kule når den snurrer. Dette konseptet lar deg bestemme volum ved en prosess kjent som `volum ved rotasjon`.

Dette lar deg bestemme volumet til ethvert fast stoff, så lenge du har en funksjon som representerer det. Du kan for eksempel lage en funksjon som følger bunnen av en innsjø, og deretter bruke den til å bestemme volumet av innsjøen, eller hvor mye vann den inneholder.

Tips

Øvelse gjør mester, så gjør øvingsøvelsene i læreboken din – selv de læreren din ikke har spesifisert – og sjekk svarene dine slik at du bedre forstår begrepene.
Hvis du ikke finner ut av noe, spør læreren din.