Beregne Fibonacci-sekvensen (med bilder)

Innhold

Trinn
- Metode 1 av 2: Bruk en tabell
- Metode 2 av 2: Bruke Binets formel og den gyldne middelvei

Fibonacci-sekvensen er en tallsekvens som genereres ved å legge til de to foregående tallene i sekvensen. Tallene i serien sees ofte i naturen og i kunsten, som spiraler og det gylne snitt. Den enkleste måten å beregne serien på er å lage en tabell; Dette er imidlertid ikke praktisk hvis du leter etter det 100. leddet i sekvensen, for eksempel, i så fall vil du bruke Binets formel.

Trinn

Metode 1 av 2: Bruk en tabell

1. Lag en tabell med to kolonner. Antall rader avhenger av antall tall i Fibonacci-sekvensen du vil beregne.

For eksempel, hvis du vil finne det femte tallet i sekvensen, vil tabellen din ha fem rader.
Med denne tabellmetoden er det ikke mulig å finne noe tall lenger ned i rekkefølgen uten først å beregne alle tallene før det. For eksempel, hvis du vil finne det 100. tallet i sekvensen, må du først finne de første 99 tallene. Derfor fungerer tabellmetoden bare for tall i begynnelsen av sekvensen.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 2

2. Skriv inn tallrekkefølgen i venstre kolonne. Dette betyr å fylle ut en sekvens av påfølgende ordenstall, som starter med "1."

Begrepet refererer til nummerets plassering i Fibonacci-sekvensen.

For eksempel, hvis du vil beregne det femte tallet i sekvensen, skriver du 1., 2., 3., 4., 5. ned i venstre kolonne. Dette vil hjelpe deg med å identifisere de første fem leddene i sekvensen.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 3

3. Sett 1 i første rad i høyre kolonne. Dette er utgangspunktet for Fibonacci-sekvensen. Med andre ord, det første leddet i sekvensen er 1.

Riktig Fibonacci-sekvens starter alltid med 1. Hvis du vil starte med et annet tall, finner du ikke det riktige mønsteret til Fibonacci-sekvensen.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 4

4. Tell det første leddet (1) og 0. sammen på. Dette vil gi deg det andre tallet i sekvensen.

Husk at for å finne et gitt nummer av Fibonacci-sekvensen, trenger du bare å legge sammen de to foregående tallene.

For å lage sekvensen kommer 0 før 1 (det første leddet), så: 1 + 0 = 1.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 5

5. Legg det første leddet (1) og det andre leddet (1) sammen. Dette vil gi deg det tredje tallet i sekvensen.

1 + 1 = 2. Tredje termin er 2.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 6

6. Legg det andre leddet (1) og det tredje leddet (2) sammen for å få det fjerde tallet i sekvensen.

1 + 2 = 3. Fjerde termin er 3.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 7

7. Legg det tredje leddet (2) og det fjerde leddet (3) sammen. Nå vet du det femte tallet i sekvensen.

2 + 3 = 5. Femte termin er 5.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 8

8. Legg de to foregående tallene sammen for å finne et gitt tall i Fibonacci-sekvensen. Hvis du bruker denne metoden, bruker du formelen

f n = f_{n - 1} + f_{n - 2}

$F_{{n}}=F_{{n-1}}+F_{{n-2}}$ . Fordi dette ikke er en lukket formel, kan du ikke bruke den til å beregne hvert ledd i serien uten først å beregne alle de foregående tallene.

Metode 2 av 2: Bruke Binets formel og den gyldne middelvei

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 9

1. Skriv ned formelen:

X n

$x_{{n}}$ =

φ n - (1 - φ)^{n} \sqrt{5}

${frac{phi ^{{n}}-(1-phi )^{{n}}}{{sqrt{5}}}}$ . I formelen,

X n

$x_{{n}}$ = begrepet i sekvensen du prøver å finne,

n

$n$ = posisjonsnummeret til leddet i rekken, og

φ

$phi$ = det gylne snitt.

Dette er en lukket formel, slik at du kan beregne et spesifikt ledd i serien uten å måtte beregne alle de foregående.
Denne formelen er en forenklet formel avledet fra Binets Fibonacci-formel.
Formelen bruker det gylne snitt ( $φ$ $phi$ ), fordi forholdet mellom to påfølgende tall i Fibonacci-sekvensen er veldig lik det gylne snitt.

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 10

2. Juster tallet for n{displaystyle n} $n$ gjelder formelen. De

n

$n$ representerer begrepet du leter etter i sekvensen.

Hvis du for eksempel leter etter det femte tallet i sekvensen, skriv inn 5. Formelen din skal nå se slik ut:

X 5

$x_{{5}}$ =

φ 5 - (1 - φ)^{5} \sqrt{5}

${frac{phi ^{{5}}-(1-phi )^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 11

3. Bytt ut det gylne snitt i formelen. Bruk 1,618034 som en tilnærming av det gylne snitt.

Hvis du for eksempel søker etter det femte tallet i sekvensen, vil formelen du skrev inn se slik ut:

X 5

$x_{{5}}$ =

(1, 618034) 5 - (1 - 1, 618034)^{5} \sqrt{5}

${frac{(1.618034)^{{5}}-(1-1,618034)^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 12

4. Fullfør beregningene i parentes. Vurder rekkefølgen av aritmetiske operasjoner ved først å beregne delen i parentes:

1 - 1, 618034 = - 0, 618034

$1-1,618034=-0,618034$ .

I eksemplet blir ligningen

X 5

$x_{{5}}$ =

(1, 618034) 5 - (- 0, 618034)^{5} \sqrt{5}

${frac{(1.618034)^{{5}}-(-0.618034)^{{5}}}{{sqrt{5}}}}$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 13

5. Regn ut eksponentene. Multipliser de to tallene i parentes i telleren med riktig eksponent.

I eksemplet,

1, 618034 5 = 11, 090170

$1,618034^{{5}}=11,090170$ ;

- 0, 618034 5 = - 0, 090169

$-0,618034^{{5}}=-0,090169$ . Så ligningen blir

X 5 = 11, 090170 - (- 0, 090169) \sqrt{5}

$x_{{5}}={frac{11,090170-(-0.090169)}{{sqrt{5}}}}$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 14

6. Fullfør beregningen. Før du fortsetter å dele, må du først trekke fra de to tallene i telleren.

I eksemplet,

11, 090170 - (- 0, 090169) = 11, 180339

$11,090170-(-0,090169)=11,180339$ , slik blir ligningen

X 5

$x_{{5}}$ =

11, 180339 \sqrt{5}

${frac{11,180339}{{sqrt{5}}}}$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 15

7. Del med kvadratroten av fem. Kvadratroten av fem er avrundet til 2,236067.

I eksempeloppgaven,

11, 180339 2, 236067 = 5, 000002

${frac{11,180339}{2,236067}}=5,000002$ .

Bilde med tittelen Beregn Fibonacci-sekvensen Trinn 16

8. Avrund til nærmeste hele tall. Svaret ditt er et desimaltall, men er veldig nær et heltall. Dette hele tallet representerer tallet i Fibonacci-sekvensen.

Hvis du har brukt hele det gylne snitt og ikke har rundet av noe, får du et helt tall. Det er imidlertid mer praktisk å avrunde, noe som vil resultere i en desimal.

I eksemplet vil svaret ditt, beregnet med en kalkulator, være omtrent 5 000 002. Avrundet til nærmeste hele tall, vil svaret ditt være fem, som også vil være det femte tallet i Fibonacci-sekvensen.