Factoring binomialer (med bilder)

Innhold

Trinn
Tips
Advarsler

I algebra er binomialer toledsuttrykk forbundet med et pluss- eller minustegn, som f.eks $en X + b$ $øks+b$ . Det første leddet inkluderer alltid en variabel, mens det andre leddet ikke trenger det. Å faktorisere et binomial betyr å lete etter enklere termer som, når de multipliseres sammen, produserer det binomiale uttrykket, som hjelper til med å løse eller forenkle for ytterligere oppgaver.

Trinn

Del 1 av 3: Factoring binomialer

1. Se gjennom det grunnleggende om factoring igjen. Factoring er å dele et stort antall i sine enkleste divisorer. Hver av disse delene kalles en `faktor`. For eksempel er tallet 6 delelig med fire forskjellige tall: 1, 2, 3 og 6. Så 1, 2, 3 og 6 er faktorene til 6.

Faktorene på 32 er 1, 2, 4, 8, 16 og 32
Både `1` og tallet du faktor er alltid faktorer. Så faktorene til et lite tall som 3 er bare 1 og 3.
Faktorer er bare de tallene som er fullt delbare, det vil si "hele" tallene. Du kan dele 32 med 3,564 eller 21,4952, men det er ikke faktorer, bare desimaltall.

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 2

2. List opp vilkårene i binomialet for å gjøre dem lettere å lese. Et binomial er ikke annet enn addisjon eller subtraksjon av to ledd, hvorav minst ett inneholder en variabel. Noen ganger har disse variablene eksponenter, som f.eks

X 2

$x^{2}$ eller

5 y 4

$5 år^{4}$ . Hvis du prøver å faktorisere binomialer for første gang, hjelper det å ordne likningene i synkende variabelledd, noe som betyr at den største eksponenten kommer sist. For eksempel:

3 t + 6

$3t+6$ →

6 + 3 t

$6+3t$

3 X 4 + 9 X^{2}

$3x^{4}+9x^{2}$ →

9 X 2 + 3 X^{4}

$9x^{2}+3x^{4}$

X 2 - 2

$x^{2}-2$ →

- 2 + X 2

$-2+x^{2}$

Legg merke til hvordan minustegnet forblir foran 2-eren. Når et ledd trekkes fra, forblir minustegnet foran det.

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 3

3. Finn den største felles deleren for begge ledd. Dette betyr at du leter etter det største tallet som begge deler av binomialet er delbare med. Hvis dette ikke fungerer, faktor begge tallene på egen hånd og se hva det høyeste samsvarende tallet er. For eksempel:

Øvelsesoppgave:

3 t + 6

$3t+6$ .

Faktorer på 3:1, 3

Faktorer på 6: 1, 2, 3, 6.

`Den største felles divisor er 3`.

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 4

4. Del den største felles deleren for hvert ledd. Hvis du kjenner fellesnevneren, må du fjerne den fra hvert begrep. Legg merke til at du bare deler begrepene som gjør hver til et mindre divisjonsproblem. Hvis det gjøres riktig, har begge ligningene samme faktor:

Øvelsesoppgave:

3 t + 6

$3t+6$ .

Finn de største felles divisorene: 3

Slik fjerner du faktor fra begge termene:

3 t 3 + \frac{6}{3} = t + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 5

5. Multipliser faktoren din med det resulterende uttrykket for å runde av. I det siste problemet fjernet du en 3, og du får

t + 2

$t+2$ . Men du vil ikke bli kvitt de 3 helt, bare ta dem inn for å forenkle ting. Du kan ikke bare slette numre uten å legge dem tilbake! Multipliser faktoren med uttrykket for å fullføre denne delen. For eksempel:

Øvelsesoppgave:

3 t + 6

$3t+6$

Finn de største felles divisorene: 3

Slik fjerner du faktor fra begge termene:

3 t 3 + \frac{6}{3} = t + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Multipliser faktor med nytt uttrykk:

3 (t + 2)

$3(t+2)$

Endelig oppløst svar: $3 (t + 2)$ $3(t+2)$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 6

6. Sjekk arbeidet ditt ved å multiplisere til den opprinnelige ligningen. Hvis du gjorde alt riktig, er det enkelt å sjekke om du gjorde det riktig. Multipliser faktoren din med begge individuelle termer i parentes. Hvis det samsvarer med den opprinnelige gitte binomialen, så har du gjort det greit. Fra start til slutt løser vi uttrykket

12 t + 18

$12t+18$ på trening:

For å omorganisere vilkår:

18 + 12 t

$18+12t$

Finne den største felles deleren:

6

$6$

Slik fjerner du faktor fra begge termene:

18 t 6 + 12 t 6 = 3 + 2 t

${frac{18t}{6}}+{frac{12t}{6}}=3+2t$

Multipliser faktor med nytt uttrykk:

6 (3 + 2 t)

$6(3+2t)$

Sjekk svar:

(6 * 3) + (6 * 2 t) = 18 + 12 t

$(6*3)+(6*2t)=18+12t$

Del 2 av 3: Faktorisering av binomialer for å løse ligninger

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 7

1. Faktor for å forenkle ligninger slik at de er lettere å løse. Når du løser en ligning med binomialer, spesielt komplekse binomialer, kan det virke som det ikke er noen måte å få alt til å stemme overens. Prøv for eksempel å løse følgende:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5y-2y^{2}=-3y$ . En måte å gjøre dette på, spesielt med eksponenter, er å faktorisere først.

Øvelsesoppgave: $5 y - 2 y 2 = - 3 y$ $5y-2y^{2}=-3y$
Husk at binomialer bare kan ha to ledd. Hvis det er mer enn to terminer, må du lære å løse polynomer.

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 8

2. Legg til og trekk fra slik at den ene siden av ligningen er lik null. Hele denne strategien er avhengig av en av de mest grunnleggende fakta i matematikk: noe multiplisert med null må være lik null. Så hvis ligningen din er lik null, må en av de faktoriserte leddene være lik null! For å starte, skal du legge til og trekke fra slik at den ene siden er lik null.

Øvelsesoppgave:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5y-2y^{2}=-3y$

Lik null:

5 y - 2 y 2 + 3 y = - 3 y + 3 y

$5y-2y^{2}+3y=-3y+3y$

8 y - 2 y 2 = 0

$8y-2y^{2}=0$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 9

3. Løs opp siden som ikke er null som du er vant til. På dette tidspunktet later du bare som om den andre siden ikke eksisterer. Finn den største felles deleren, del den, og lag deretter ditt faktoriserte uttrykk.

Øvelsesoppgave:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5y-2y^{2}=-3y$

Lik null:

8 y - 2 y 2 = 0

$8y-2y^{2}=0$

Løse opp:

2 y (4 - y) = 0

$2y(4-y)=0$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 10

4. Sett leddene innenfor og utenfor parentesen lik null. I øvingsoppgaven multipliserer du 2y med (4 – y), og dette må være lik null. Siden noe multiplisert med null er lik null, betyr dette at 2y eller (4 – y) må være lik null. Lag to separate ligninger for å finne ut hvilken verdi y må ha for å gjøre hver side lik null.

Øvelsesoppgave:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5y-2y^{2}=-3y$

Lik null:

8 y - 2 y 2 + 3 y = 0

$8y-2y^{2}+3y=0$

Løse opp:

2 y (4 - y) = 0

$2y(4-y)=0$

Gjør begge ledd lik null 0:

2 y = 0

$2y=0$

4 - y = 0

$4-y=0$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 11

5. Løs begge ligningene for null for det endelige svaret eller svarene. Du kan få ett svar eller flere svar. Husk at bare én side må være lik null, så du kan få noen forskjellige verdier for y som løser den samme ligningen. De siste trinnene i øvelsesoppgaven:

2 y = 0

$2y=0$

2 y 2 = \frac{0}{2}

${frac{2y}{2}}={frac{0}{2}}$

y = 0

4 - y = 0

$4-y=0$

4 - y + y = 0 + y

$4-y+y=0+y$

y = 4

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 12

6. Bruk svarene tilbake til den opprinnelige ligningen for å sikre at de er riktige. Når du har funnet de riktige verdiene for y, bør du kunne bruke dem til å løse ligningen. Dette er så enkelt som å prøve ut hver verdi av y i stedet for variabelen som vist nedenfor. Svarene er y = 0 og y = 4, så:

5 (0) - 2 (0) 2 = - 3 (0)

$5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$

0 + 0 = 0

$0+0=0$

0 = 0

$0=0$ Dette svaret er riktig

5 (4) - 2 (4) 2 = - 3 (4)

$5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$

20 - 32 = - 12

$20-32=-12$

- 12 = - 12

$-12=-12$ Dette svaret er også riktig.

Del 3 av 3: Håndtering av tøffere problemer

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 13

1. Husk at variabler teller som faktorer, selv med eksponenter. Husk at faktorisering handler om å bestemme hvilke tall som passer inn i heltallet. Uttrykket

X 4

$x^{4}$ er en annen måte å si det på

X * X * X * X

$x*x*x*x$ . Dette betyr at du kan plassere hvilken som helst x utenfor parentes hvis den andre termen også har en. Behandle variabler som vanlige tall. For eksempel:

$2 t + t 2$ $2t+t^{2}$ kan faktoriseres, fordi begge begrepene inneholder en t. Det endelige svaret blir $t (2 + t)$ $t(2+t)$
Du kan til og med plassere flere variabler utenfor parentes samtidig. For eksempel i $X 2 + X^{4}$ $x^{2}+x^{4}$ begge begrepene inneholder det samme $X 2$ $x^{2}$ . Du kan løse opp dette i $X 2 (1 + X^{2})$ $x^{2}(1+x^{2})$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 14

2. Gjenkjenne ikke forenklede binomialer ved å kombinere like termer. Ta for eksempel uttrykket

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$ . Her virker det som om du har å gjøre med fire termer, men hvis du ser nærmere vil du innse at det bare er to. Du kan legge til like termer og siden både 6 og 14 ikke har noen variabel og 2x og 3x deler samme variabel, kan de slås sammen. Oppløsning er da enkelt:

Opprinnelig oppgave:

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$

For å omorganisere vilkår:

2 X + 3 X + 14 + 6

$2x+3x+14+6$

Slik slår du sammen lignende termer:

5 X + 20

$5x+20$

Finn de største felles divisorene:

5 (X) + 5 (4)

$5(x)+5(4)$

Løse opp:

5 (X + 4)

$5(x+4)$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 15

3. Gjenkjenne den spesielle "forskjellen mellom perfekte firkanter". Et perfekt kvadrat er et tall hvis rot er et heltall, for eksempel

9

$9$

(3 * 3)

$(3*3)$ ,

X 2

$x^{2}$

(X * X)

$(x*x)$ , eller

144 t 2

$144t^{2}$

(12 t * 12 t)

$(12t*12t)$ Hvis binomialet ditt er en minussum med to perfekte kvadrater, som f.eks

en 2 - b^{2}

$a^{2}-b^{2}$ , så kan du bare bruke dem i denne formelen:

Formelen for forskjellen mellom perfekte kvadrater:

en 2 - b^{2} = (en + b) (en - b)

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Øvelsesoppgave:

4 X 2 - 9

$4x^{2}-9$

Bestem kvadratrøttene:

\sqrt{4 X} 2 = 2 X

${sqrt{4x^{2}}}=2x$

\sqrt{9} = 3

${sqrt{9}}=3$

Bruk kvadratrøtter på formelen: $4 X 2 - 9 = (2 X + 3) (2 X - 3)$ $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 16

4. Lær å forenkle "forskjellen mellom perfekte kuber". I likhet med de perfekte firkantene er dette en enkel formel der to terninger trekkes fra hverandre. For eksempel,

en 3 - b^{3}

$a^{3}-b^{3}$ . Som før, finn terningsroten til hver og bruk den i formelen:

Formel for forskjellen mellom tredje makter:

en 3 - b^{3} = (en - b) ({en}^{2} + en b + b^{2})

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Øvelsesoppgave:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Bestem kuberøttene:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Bruk kuber på formelen: $8 X 3 - 27 = (2 X - 3) (4 X^{2} + 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$

Bilde med tittelen Factor Binomials Step 17

5. Vit at summen av perfekte kuber også passer inn i en formel. I motsetning til forskjellen på perfekte firkanter, kan du bruke tilsatte kuber, som f.eks

en 3 + b^{3}

$a^{3}+b^{3}$ , også lett å finne med en enkel formel. Dette er nesten nøyaktig det samme som ovenfor, men med noen plusser og minuser omvendt. Formelen er like enkel som de to andre, og alt du trenger å gjøre er å gjenkjenne de to kubene i oppgaven:

Formel for summen av perfekte kuber:

en 3 + b^{3} = (en + b) ({en}^{2} - en b + b^{2})

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Øvelsesoppgave:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Bestem kuberøttene:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Bruk kubene på formelen: $8 X 3 - 27 = (2 X + 3) (4 X^{2} - 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$

Tips

Ikke alle binomialer har felles divisorer! Noen er allerede forenklet så mye som mulig.
Hvis du ikke er sikker på om det er en felles divisor, deler du med mindre tall først. For eksempel, hvis du ikke umiddelbart ser at 16 er felles divisor for 32 og 16, begynn å dele begge tallene med 2. Dette etterlater 16 og 8, som også kan deles på 8. Nå har du 2 og 1, de minste faktorene. Det er helt klart en felles divisor større enn 8 og 2.
Legg merke til at en sjette potens (x) både er et perfekt kvadrat og er en perfekt kube. Så du kan bruke en av spesialformlene ovenfor, i hvilken som helst rekkefølge, på et binomial som er forskjellen mellom perfekte sjettepotenser, for eksempel x - 64. Du kan imidlertid finne det lettere å bruke forskjellsformelen for perfekte kvadrater først, slik at du kan faktorisere binomialet ytterligere.