Beregne skjæringspunktet mellom to linjer (med bilder)

Innhold

Trinn
- Metode 1 av 2: Bestemme skjæringspunktet mellom to rette linjer
- Metode 2 av 2: Oppgaver med andregradsligninger
Tips

Når rette linjer skjærer hverandre på en todimensjonal graf, gjør de det på bare ett punkt, indikert med koordinatene x og y. Siden begge linjene går gjennom det punktet, vet du at x- og y-koordinatene må tilfredsstille begge ligningene. Med noen få ekstra teknikker kan du finne skjæringspunktene mellom parabler og andre kvadratiske kurver ved å bruke samme logikk.

Trinn

Metode 1 av 2: Bestemme skjæringspunktet mellom to rette linjer

1. Skriv ligningen til en linje med y til venstre. Om nødvendig, modifiser ligningen slik at y er isolert på den ene siden av likhetstegnet. Hvis ligningen er skrevet med f(x) eller g(x) i stedet for y, skiller du det leddet. Husk at du kan eliminere termer ved å utføre samme operasjon på begge sider.

Er ligningene ukjente, så bestemmer du det basert på informasjonen som er gitt.
Eksempel: Anta at du har to linjer $y = X + 3$ $y=x+3$ og $y - 12 = - 2 X$ $y-12=-2x$ . For å skille y i den andre ligningen, legg til 12 på hver side: $y = 12 - 2 X$ $y=12-2x$

Bilde med tittelen Algebraisk Finn skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 2

2. Pass på at høyresiden av ligningene er like. Vi ser etter et punkt hvor de to linjene har samme x- og y-verdier; dette er punktet der linjene skjærer hverandre. Begge ligningene har bare en y til venstre, så vi vet at høyresidene er like med hverandre. Skriv en ny ligning som viser dette.

Eksempel: vi vet det

y = X + 3

$y=x+3$ og

y = 12 - 2 X

$y=12-2x$ , og dermed $X + 3 = 12 - 2 X$ $x+3=12-2x$ .

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 3

3. Løs x i ligningen. Den nye ligningen har bare én variabel, x. Løs dette med algebra, ved å utføre samme operasjon på begge sider. Finn x-leddene på hver side av ligningen, og plasser dem i formen x = __ (hvis ikke mulig, fortsett å lese på slutten av denne delen).

Eksempel:

X + 3 = 12 - 2 X

$x+3=12-2x$

telefon

2 X

$2x$ på hver side:

3 X + 3 = 12

$3x+3=12$

Trekk fra 3 fra hver side:

3 X = 9

$3x=9$

Del hver side med 3:

X = 3

$x=3$ .

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 4

4. Bruk denne x-verdien til å løse for y. Velg ligningen for hver linje. Erstatt hver x i ligningen med svaret du fant. Løs nå for y.

Eksempel:

X = 3

$x=3$ og

y = X + 3

$y=x+3$

y = 3 + 3

$y=3+3$

y = 6

$y=6$

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 5

5. Sjekk arbeidet ditt. Det er lurt å plugge inn x-verdien din i den andre ligningen for å se om du får samme resultat. Hvis du får en annen løsning for y, gå tilbake og sjekk arbeidet ditt for feil.

Eksempel:

X = 3

$x=3$ og

y = 12 - 2 X

$y=12-2x$

y = 12 - 2 (3)

$y=12-2(3)$

y = 12 - 6

$y=12-6$

$y = 6$ $y=6$

Dette er samme svar som tidligere. Vi gjorde ingen feil.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 6

6. Skriv ned x- og y-koordinatene til skjæringspunktet. Du har nå løst for x-verdien og y-verdien til skjæringspunktet mellom de to linjene. Skriv punktet som en koordinat, med x-verdien som det første tallet.

Eksempel:

X = 3

$x=3$ og

y = 6

$y=6$

De to linjene skjærer hverandre i punktet (3.6).

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 7

7. Behandle uvanlige resultater. Noen ligninger gjør det umulig å løse x. Dette betyr ikke nødvendigvis at du har gjort en feil. Det er to måter et par linjer kan føre til en spesiell løsning:

Hvis de to linjene er parallelle vil de ikke krysse hverandre . X-leddene kan elimineres og ligningen din kan forenkles til en ugyldig ligning (som f.eks

0 = 1

$0=1$ ). Merk her`linjene krysser ikke hverandre eller ikke en gyldig løsning` hvis du svarer.

Hvis de to ligningene beskriver samme linje, så `skjærer` de hverandre overalt. Du kan eliminere x-leddene og forenkle ligningen til en gyldig ligning (som f.eks

3 = 3

$3=3$ ). skrive ned `de to linjene er like" som et svar.

Metode 2 av 2: Oppgaver med andregradsligninger

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 8

1. Lær å gjenkjenne andregradsligninger. I en andregradsligning er det en eller flere variabler i andregradsform (

X 2

$x^{2}$ eller

y 2

$y^{2}$ ), og det er ingen høyere makter. Linjene representert av ligninger er buede, og kan derfor skjære en rett linje i 0, 1 eller 2 punkter. I denne delen lærer du hvordan du finner skjæringspunktene til et slikt problem.

Regn ut ligninger innenfor parentes for å se om de er kvadratiske. For eksempel, $y = (X + 3) (X)$ $y=(x+3)(x)$ er kvadratisk, fordi du kan sette den utenfor parentes hvis $y = X 2 + 3 X .$ $y=x^{2}+3x$
Å ha ligninger av en sirkel eller en ellipse både en $X 2$ $x^{2}$ som en $y 2$ $y^{2}$ begrep. Hvis du synes disse spesielle tilfellene er vanskelige, kan du lese videre på Tips på slutten av denne artikkelen.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 9

2. Skriv likningene i form av y. Om nødvendig, omskriv hver ligning slik at y er på den ene siden.

Eksempel: Finn skjæringspunktet mellom

X 2 + 2 X - y = - 1

$x^{2}+2x-y=-1$ og

y = X + 7

$y=x+7$ .

Omskriv den kvadratiske ligningen i form av y:

$y = X 2 + 2 X + 1$ $y=x^{2}+2x+1$ og $y = X + 7$ $y=x+7$ .

Dette eksemplet har en andregradsligning og en lineær ligning. Oppgaver med to andregradsligninger løses på samme måte.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 10

3. Kombiner de to ligningene for å eliminere y. Hvis du har gjort begge likningene lik y, så vet du at de to likningene uten y er lik hverandre.

Eksempel:

y = X 2 + 2 X + 1

$y=x^{2}+2x+1$ og

y = X + 7

$y=x+7$

$X 2 + 2 X + 1 = X + 7$ $x^{2}+2x+1=x+7$

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 11

4. Omorganiser den nye ligningen slik at den ene siden er lik null. Bruk standard matematiske metoder for å få alle ledd på den ene siden av ligningen. Dette er det nødvendige oppsettet av problemene for å kunne løse dem i neste trinn.

Eksempel:

X 2 + 2 X + 1 = X + 7

$x^{2}+2x+1=x+7$

Trekk fra x fra hver side:

X 2 + X + 1 = 7

$x^{2}+x+1=7$

Trekk fra 7 fra hver side:

$X 2 + X - 6 = 0$ $x^{2}+x-6=0$

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 12

5.Løs den andregradsligningen. Hvis du har én side lik null, er det tre måter å løse andregradsligningen på. Alle foretrekker en annen metode. Du kan lese mer om den kvadratiske formelen til "dele kvadratet", eller du kan følge dette eksemplet videre for det faktorisere metode:

Eksempel:

X 2 + X - 6 = 0

$x^{2}+x-6=0$

Hensikten med factoring er å bestemme de to faktorene multiplisert sammen for å produsere denne ligningen. Fra første termin vet vi det

X 2

$x^{2}$ kan deles inn i x og x. Skriv (x )(x ) = 0 for å vise dette.

Siste termin er -6. Skriv ned hvert par av faktorer som multipliserte for å gi -6 som produktet:

- 6 * 1

$-6*1$ ,

- 3 * 2

$-3*2$ ,

- 2 * 3

$-2*3$ , og

- 1 * 6

$-1*6$ .

Mellomleddet er x (som du kan skrive som 1x). Legg sammen hvert par av faktorer for å få 1 som svar. Det riktige paret av faktorer er

- 2 * 3

$-2*3$ , fordi

- 2 + 3 = 1

$-2+3=1$ .

Fyll ut hullene i svaret med disse få faktorene: $(X - 2) (X + 3) = 0$ $(x-2)(x+3)=0$ .

Bilde med tittelen Algebraisk finn skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 13

6. Hold øynene åpne for to løsninger for x. Hvis du jobber for raskt, kan du finne ett svar på problemet uten å innse at det finnes et annet. Slik finner du de to x-verdiene for linjer som skjærer hverandre i to punkter:

Eksempel (faktor): Vi ender opp med ligningen

(X - 2) (X + 3) = 0

$(x-2)(x+3)=0$ . Hvis begge faktorene i parentes er lik 0, er ligningen sann. Den ene løsningen er

X - 2 = 0

$x-2=0$ → $X = 2$ $x=2$ . Den andre løsningen er

X + 3 = 0

$x+3=0$ → $X = - 3$ $x=-3$ .

Eksempel (kvadratisk likning eller delekvadrat): Hvis du bruker en av disse metodene for å løse likningen, vil en kvadratrot dukke opp. For eksempel blir ligningen vår

X = (- 1 + \sqrt{25}) / 2

$x=(-1+{sqrt{25}})/2$ . Husk at du kan forenkle en kvadratrot til to forskjellige løsninger:

\sqrt{25} = 5 * 5

${sqrt{25}}=5*5$ , og

\sqrt{25} = (- 5) * (- 5)

${sqrt{25}}=(-5)*(-5)$ . Skriv to likninger, en for hver mulighet, og løs for x for hver av dem.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 14

7. Løs problemer med én eller null løsninger. To linjer som knapt berører hverandre har ett skjæringspunkt, og to linjer som aldri berører hverandre har null. Du kan gjenkjenne dem på følgende måter:

Én løsning: Oppgavene kan deles inn i to identiske faktorer ((x-1)(x-1) = 0). Angis i den kvadratiske formelen, blir kvadratroten

\sqrt{0}

${sqrt{0}}$ . Du trenger bare å løse én ligning.

Det er ingen reell løsning: Det er ingen faktorer som oppfyller kravene (oppføring til mellomledd). Angitt i kvadratisk formel får du et negativt tall under radikalet (som f.eks

\sqrt{- 2}

${sqrt{-2}}$ ). Skriv `ingen løsning` som svar.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 15

8. Plugg x-verdiene tilbake til den opprinnelige ligningen. Når du har x-verdien til skjæringspunktet, sett den tilbake i en av ligningene du startet med. Løs for y for å finne y-verdien. Hvis det er en andre x-verdi, gjenta for denne verdien også.

Eksempel: Vi har funnet to løsninger,

X = 2

$x=2$ og

X = - 3

$x=-3$ . En av linjene våre har ligningen

y = X + 7

$y=x+7$ . erstatning

y = 2 + 7

$y=2+7$ og

y = - 3 + 7

$y=-3+7$ , og løs hver ligning slik at du får

y = 9

$y=9$ og

y = 4

$y=4$ hvis du får svar.

Bilde med tittelen Finn algebraisk skjæringspunktet mellom to linjer Trinn 16

9. Skriv svaret som koordinater. Nå skriver du svaret som koordinater, med x-verdien og y-verdien til krysset. Hvis du har to svar, sørg for at du matcher riktig x-verdi med hver y-verdi.

Eksempel: Når vi

X = 2

$x=2$ innspill får vi

y = 9

$y=9$ , slik at ett skjæringspunkt er lik (2, 9). Vi gjør det samme for den andre løsningen , og dette gir oss skjæringspunktet (-3, 4) på.

Tips

Ligninger for en sirkel eller ellipse har en $X 2$ $x^{2}$ begrep og en $y 2$ $y^{2}$ begrep. For å finne skjæringspunktet mellom en sirkel og en rett linje, løs for x i den lineære ligningen. Bytt ut løsningen for x i sirkelligningen, og andregradsligningen ble mye enklere. Disse problemene kan ha 0, 1 eller 2 løsninger, som allerede angitt i metodene ovenfor.
En sirkel og en parabel (eller en annen kvadratisk ligning) kan ha 0, 1, 2, 3 eller 4 løsninger. Finn variabelen som er et kvadrat i begge ligningene — la oss si at dette er x. løs $X 2$ $x^{2}$ på og erstatte svaret med $X 2$ $x^{2}$ i den andre ligningen. Løs y for å finne 0, 1 eller 2 løsningene. Koble hver løsning tilbake til den opprinnelige kvadratiske ligningen og løs for x. Hver av disse kan ha 0, 1 eller 2 løsninger.